Buch lesen: «Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática», Seite 2

• la evaluación del propio trabajo hecho en aula: de acuerdo con los resultados de aprendizaje obtenidos por sus estudiantes, el docente informado de los resultados de la investigación en didáctica está en grado de analizar críticamente su actuar al interno del aula, rediseñando sus estrategias metodológicas y sus elecciones;

• la evaluación del currículo: el docente informado de la investigación en didáctica está en grado de re-pensar al desarrollo curricular en cada uno de sus aspectos, asumiéndose en primera persona la crítica a dicho desarrollo y creando condiciones constructivas oportunas para una seria y en ocasiones profunda transformación.

Debemos hacernos preguntas de base: ¿Por qué se evalúa y qué se evalúa?, no obstante las respuestas parezcan obvias; dicha obviedad es muchas veces el resultado de una forma ingenua de afrontar el problema.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología de trabajo en aula (ingeniería didáctica). A partir de los datos recogidos gracias a observaciones en el aula (hechos que describen los alumnos durante el trabajo matemático) y gracias al análisis de los resultados de las tareas (entendidas en general: tanto las “clásicas” escritas u orales, como las menos tradicionales), se pueden identificar puntos fuertes y puntos débiles de cada uno de los estudiantes (esto depende en gran parte del tipo de instrumento de evaluación que se adopta) y así decidir de consecuencia por las elecciones relativas a la transposición didáctica y por una determinada ingeniería didáctica, adecuadas a las necesidades de cada uno de los componentes del grupo clase.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente clase. En una hipótesis constructivista, es dado por cierto que la implicación personal es el primer paso hacia la construcción de un conocimiento, hacia el aprendizaje; por tanto, evaluar si esta fue alcanzada es un paso de extraordinaria importancia. De esto deriva, como consecuencia, que el ambiente dominante en aula es fundamental. Esto significa que es de vital importancia que haya, por así decirlo, en una primera instancia, confianza en la acción del docente. Preguntas como: ¿Los alumnos se dan cuenta si al docente le gusta enseñar matemática?, ¿La resolución de los problemas y el descubrimiento son aspectos habituales en la hora de matemática?, ¿Los alumnos tienen la oportunidad de explorar y de experimentar sin sentir la presión de estar bajo juicio? ¿En el momento de dar una nota, se tiene en cuenta algo más que la respuesta correcta a un ejercicio?,... asumen importancia estratégica en la formación del ambiente de clase adecuado.

Se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante. Los alumnos son capaces (es más, son habilísimos) de reconocer aquello que implícitamente el docente considera importante; por ejemplo, si frente a un trabajo escrito el docente revisa el proceso seguido por el estudiante, sólo cuando la respuesta final no es la correcta, con el fin de encontrar el error, implícitamente está enseñando que el proceso no es importante, que es secundario respecto al resultado (es decir al producto).

Se evalúa para dar una calificación. En esta enumeración, es la última de las razonas por las cuales se debe evaluar, pero ciertamente la de mayor difusión. Los alumnos deben por el contrario tener bien claro que evaluar no es sinónimo de dar una nota. Cuando se da una nota, se debe tener presente que:

• es necesario el uso de diversos instrumentos y técnicas, como lo veremos más adelante;

• es posible que el trabajo del estudiante sea diferente del trabajo usual cuando sabe que su trabajo será objeto de una calificación; y sin embargo los estudiantes deben saber con anticipación cuando un determinado trabajo que están por realizar será sometido a juicio;

• se requiere usar siempre un sistema de evaluación que tenga en cuenta tanto el proceso como el producto.

Las discusiones sobre los métodos y criterios de evaluación en matemática tienen raíces antiguas (en Jiménez Rodríguez, 1997 se ofrece una panorámica diacrónica y sincrónica de gran eficacia; véase también Fandiño Pinilla, 2002).

Consideramos necesario que sea claro que las modalidades concretas para realizar evaluaciones serias son muchísimas, no existen únicamente los cuestionarios o la solución de ejercicios o la resolución de problemas: hoy la investigación ha elaborado formas de evaluación sofisticadas, mucho más atendibles y significativas. Cuando llegue el momento, en el desarrollo de este libro, explicitaremos algunos de estos instrumentos.

En los apartados precedentes, privilegiemos la “evaluación para medir, para dar una calificación”. Pero no olvidemos que, como ya lo dijimos:

• se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología del trabajo en aula (ingeniería didáctica)

• se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente de clase

• se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante,

como lo analizamos líneas arriba.

A través de oportunas técnicas de evaluación, el docente recibe informaciones claras sobre la eficacia de su acción didáctica en aula y por tanto de los contenidos tratados, de la metodología; obtiene además informaciones sobre el ambiente de clase; tiene la posibilidad, particularmente con pruebas que podemos llamar no tradicionales, de comunicar incluso explícitamente que es importante y que no lo es.

El análisis histórico de la evaluación, del sentido y de la función que le ha asignado la historia, de sus aspectos sociales etcétera, sería de gran interés, pero no es este el propósito de este libro; por lo tanto reenviamos a los textos enunciados precedentemente.

Así, existen varias teorías sobre la evaluación, teorías llamadas científicas, en sentido estricto, curricular, sobre las cuales invitamos a leer en los mismos textos citados precedentemente.

Precisamente, estas profundas reflexiones llevaron en el tiempo a establecer los criterios de tener presente en la evaluación, los métodos generales y específicos más adecuados, los instrumentos y sus funciones, el significado de validar los resultados que se obtienen con esta actividad.

Uno de los temas más interesantes es aquel de la relación entre convicciones de los docentes y evaluación; es obvio que diferentes convicciones impliquen diferentes evaluaciones. Pero, sobre todo esto, ya se hizo un profundo análisis por lo cual consideramos no sea necesario reportarlo aquí (Fandiño Pinilla, 2002).

Pero, una lectura como la que sigue, tiene sentido y es eficaz sólo si el docente que lee quiere hacer uso de los resultados reportados y si ya posee una buena capacidad crítica; deseamos aquí subrayar que, para nosotros, estas son las características de una innovación en la evaluación en matemática.

La forma más eficaz es la de hacer una breve lista de las condiciones que parecen determinar actualmente el sentido que tiene la innovación en la evaluación; lo haremos por puntos, buscando reutilizar algunos términos técnicos, evitando en lo posible largas explicaciones.

Las características principales de una innovación en la evaluación de un proceso sistemático de enseñanza - aprendizaje de la matemática, extrapoladas de los trabajos de investigación, son las siguientes:

• Una cuidadosa elección y descripción explícita de criterios y objetivos, con referencia a contenidos, en un modelo crítico - orientativo. Es así como la matemática debe ser considerada como una construcción significativa; la lista de los contenidos no es estática, por el contrario, ampliamente dinámica; debe ser incluida la valoración de los progresos locales de cada uno de los estudiantes; la elaboración de las actividades debe ser consecuencia del proceso o por lo menos relacionarse con este y no viceversa es decir fijada a priori de forma definitiva.

• La evaluación es vista como compleja y multidimensional, así como lo es el complejo proceso sistémico de enseñanza - aprendizaje.

• La evaluación no se restringe a un punto o a una cierta acción, por el contrario, debe ser realizada a lo largo de todo el arco del proceso de enseñanza - aprendizaje, dado que esta se considera una parte integrante de dicho proceso. La evaluación, por tanto, es continua y global.

• La evaluación debe ser adapta al estudiante evaluado y debe tener presente la diversidad. Evaluar significa también reconocer y aceptar las características individuales. La atención por la diversidad se extiende a la evaluación del currículo y del trabajo del docente.

• La evaluación implica el desarrollo de habilidades de tipo comunicativo. Esta favorece la adquisición de competencias incluso de tipo instrumental. El estudiante podrá desarrollar conceptos, procedimientos, actitudes y mejores estructuras, siempre que se mueva en esquemas no fijos, de forma tal que todo sea aplicable de forma independiente en las situaciones particulares; desde esta interpretación hablamos de “competencias estructurales”. El proceso de aprendizaje, entendido en un este vasto sentido, debe ser autorregulado; es decir favorecido de momentos de análisis crítico del proceso, replanteamientos y evaluaciones de carácter meta-cognitivo. En todo esto juega un papel esencial la explicitación, por parte del docente, de todo aquello que él piensa que deba suceder en el aula, en el proceso de enseñanza - aprendizaje y en el proceso de evaluación. Por último, se debe agregar la solicitud de claridad, con el objetivo de evitar ambigüedades sea en la asignación de las tareas, sea en la explicitación de las expectativas. Esto no debe entrar en contraposición con la idea de situación a-didáctica: no se debe confundir el contexto de enseñanza, es decir la elección de “buenas situaciones” de proponer para lograr los objetivos cognitivos, con las reflexiones sucesivas, o con la explicitación de los momentos de evaluación.

• El conocimiento adquirido debe tener un alto grado de aplicabilidad no sólo endógena, sino, básicamente, de carácter exógeno. Pero no basta: el estudiante debe reconocer este hecho y saberlo expresar a través oportunas situaciones: debe tener la sensación que el conocimiento adquirido influencia su competencia que resulta útil y evaluable.

• ¿Qué sucede en el proceso, cómo viene analizado antes y registrado después el nivel de calidad de la evolución cognitiva? De este punto se ocupa el “control”. El control interviene, incluso si parece paradójico, en vía preliminar, en el momento de proyectar el currículo o, por lo menos, la parte específica del proyecto de la evaluación; pero está siempre presente para alcanzar una re-proyectación constante, para articular formas de regulación y de autorregulación. Precisamente estas son las características que determinan un sistema abierto respecto a uno cerrado. Esto implica una actividad de tipo diverso de las pruebas de evaluación “usuales”, recurriendo a la formulación de conjeturas, su verifica y su defensa, al análisis del dominio de situaciones diversas que caen bajo el mismo conocimiento, a la redacción de textos, diseños, gráficos,.. Pero ¿cómo reconocer si las técnicas de control (entendido en este sentido) son adecuadas? Podemos decir que un control es adecuado sí ese mismo produce informaciones adecuadas para ser usadas a fin de mejorar las competencias de cada uno de los estudiantes y el proceso individual de construcción de conocimiento.

• La investigación actual sobre la evaluación, reflejando una dirección general que podemos pensar común a toda la didáctica de la matemática, está dando mucha importancia a la motivación y a los aspectos afectivos. Sobre estos aspectos debemos centrarnos, para ayudar al estudiante a crecer también en el gusto de tomar decisiones. Por ejemplo, si el estudiante hace preguntas sobre el procedimiento que debe seguir en una actividad, es contraproducente, desde este punto de vista, sugerir como proseguir; por el contrario, es aún más productivo motivar, responder con otra pregunta que lleve a reflexionar sobre la situación, sugerir un análisis, una analogía, una estrategia que el estudiante no había visto o pensado; es inútil dar indicaciones que aumenten el nivel de la propuesta, dirigiéndola a un nivel mayor (de un ejemplo a la generalización; de un ejercicio a la comparación estructural; de la defensa de una conjetura a la demostración; sólo para dar algún ejemplo concreto). Siempre en este ámbito, queremos subrayar la importancia que tiene el hecho que el estudiante entienda que el docente decidió aceptar su situación personal, ya sea en términos de elecciones, ya sea en lo que respecta una eventual condición de objetiva diversidad.

• Una moderna idea de evaluación, que tenga en cuenta de los resultados de la investigación, debe plantearse el problema de la formación. De una parte, la formación de los estudiantes sobre el tema: explicitar las problemática, hacerlas evidentes y contribuir a hacer sí que incluso la evaluación sea elemento vivo y presente en la vida de aula. Por otra parte, no siempre obvio en la formación inicial o en servicio de los docentes.

• Una moderna idea de evaluación, que se proponga como innovadora, no puede prescindir de la exigencia que esta sea coherente y ecuánime, de forma tal, que se gane la confianza de todos, de los estudiantes, de sus familias, de los docentes, de la noosfera. La coherencia más compleja de obtener parece ser aquella entre lo que se hace en matemática y cómo este hacer viene evaluado; este punto debería ser desarrollado dando valoraciones explícitas. En cuanto a la equidad, esto implica que cada estudiante deba sentirse parte no sólo del proceso de enseñanza - aprendizaje, sino también del proceso de evaluación. La coherencia implica un desarrollo eficaz, el reconocimiento de valores diversos, la profesionalidad del docente. Por último, es importante que todos tengan confianza en el proceso de evaluación, porque este pueda ser reconocido como el producto externo en el cual se configura la ética de las intenciones didácticas.

Es en todo esto que se reconoce un tentativo de fundar una moderna visión de la evaluación sobre la base de los actuales resultados; lejos de ser, como podría pensarse, sólo un conjunto de palabras vacías, lo descrito hasta aquí es, por el contrario, un instrumento preciso y concreto que aporta un fundamento nuevo, riguroso y ágil, a la profesionalidad del docente.

1.5. Intervenir y evaluar la especificidad de un fracaso

Como ya lo habíamos dicho, seguirán los cinco capítulos del 2 al 6, en cada uno de los cuales se presenta uno de los cinco componentes del aprendizaje de la matemática; en cada uno de ellos, se harán propuestas de actividades centradas en la evaluación específica.

¿Por qué? Porque el fracaso de un estudiante en matemática puede ser, en más: la mayor parte de las veces lo es, específico. Es un hecho conocido y confirmado por muchos docentes.

Un estudiante pudo haber construido en concepto auspiciado, pero no sabe usarlo para realizar un algoritmo, o para revolver un problema; no lo sabe comunicar o sólo aprendió a representarlo semióticamente.

Otro estudiante pudo no haber construido el concepto deseado, sin embargo sabe operar algorítmicamente sobre aspectos relacionados con este concepto; por ejemplo, el estudiante de la escuela media no ha entendido el sentido conceptual de la proporción pero sabe que el producto de los medios es igual al producto de los extremos: y lo usa para efectuar algoritmos; pero, no sabe usar las proporciones cuando se trata de resolver problemas, no sabe comunicar el sentido de lo que está haciendo, sabe representar la proporción sólo si la reconoce en la forma algebraica. Un caso que se tiene con mucha frecuencia en la escuela superior o en al universidad: estudiantes que saben calcular límites o derivadas, pero que no han elaborado el concepto ni del uno ni de la otra.

Ahora que el sentido de lo que aquí proponemos ha sido clarificado, podemos ir un poco más rápido, con ejemplos aún más específicos, formulados de forma mucho más cercana a la cotidianidad: estudiantes que saben transformar semióticamente ecuaciones, pero que no saben conceptualmente que están haciendo; estudiantes que... La lista podría continuar, con ejemplos fácilmente evidenciados a cualquier nivel escolástico.

Esta es la respuesta a la pregunta: el análisis detallado de cada una de las componentes no es y no pretende ser la declaración falsa e ingenua que estos aprendizajes actúan de forma separada; este análisis es sólo un proyecto discursivo por comodidad para ayudar en la evaluación específica, en la recuperación, actuando directamente sobre las causas y no sobre los errores.

Capítulo 2 El aprendizaje conceptual

2.1. Registros de representación semiótica

Debemos iniciar inmediatamente declarando que los conceptos de la matemática tienen un carácter específico, en relación con las otras disciplinas y en particular con otras ciencias.

En las llamadas ciencias experimentales se puede recurrir a hechos, objetos, cosas,... es decir se pueden indicar instrumentos, materiales concretos, hechos que son el objeto mismo del tratamiento o de la referencia ostensiva de lo que se está diciendo. En matemática no; los conceptos de la matemática revisten un aspecto ideal, pueden ser considerados, según las diferente filosofías que se elaboran, abstractos, ideales, lingüísticos, resultados de acuerdos interpersonales, descubrimientos, inventos creativos etcétera, pero no caen bajo los sentidos.

Aristóteles afirmaba que una “cosa”, es decir un objeto entendido en la acepción más ingenua, tiene tres característica que la definen:

• es tridimensional,

• se percibe a través de los sentidos del ser humano

• es separable de otras “cosas”.

Una recta no es tridimensional, no puede ser percibida por ninguno de los sentidos, no puede ser separada en sentido concreto de los otros conceptos; por tanto, la recta no es una “cosa”, ni el número tres, ni el área, ni la división, ni la demostración, ni la implicación material etcétera.

Lo único que el ser humano está en grado de hacer, respecto a un concepto matemático que quiere evocar, es el de elegir una representación en un registro semiótico oportuno, y trabajar sobre esta representación.

Si aceptamos un punto de vista ontológico, entonces tiene sentido, como es común en los matemáticos, llamar “objetos” a los conceptos de la matemática, en el sentido apenas delineado (para saber más, véase D’Amore, 2003b).

Para poder entender a fondo el sentido que tienen estas afirmaciones que podrían aparecer vagas y confusas, trataremos brevemente la cuestión recurriendo sólo a ejemplos y a los primeros principios de la semiótica. Iniciamos diciendo que, con el término “noética” se entiende la adquisición conceptual; en el caso del ambiente escuela, el aprendizaje conceptual de un estudiante; con el término “semiótica” se entiende la representación de conceptos mediante sistemas de signos.

Los objetos de la matemática no existen en la realidad concreta; en matemática lo único que podemos hacer es elegir un registro semiótico y representar dicho concepto en este determinado registro, como ya lo habíamos enunciado.

Lo que se aprende a manejar en matemática, por tanto, no son tanto los objetos como sus representaciones semióticas; incluso si el objetivo principal es la noética, es decir el aprendizaje conceptual.

Debemos decir también que la actividad semiótica es parte constitutiva del aprendizaje, hace parte del mismo funcionamiento cognitivo en matemática, su función no es únicamente la de apropiarse y la de comunicar conceptos adquiridos por otra vía. No podemos no concordar con Duval (1993): «No existe noética sin semiótica», y tal vez, no sólo en el aprendizaje de la matemática.

Por ejemplo, representemos en diversos registros el concepto que formaliza la idea de dividir a mitad un entero, es decir, el objeto matemático “mitad”1:

registro semiótico: el lenguaje común: un medio, la mitad,...

registro semiótico: el lenguaje aritmético: en escritura fraccionaria; en escritura decimal; en escritura potencial; 50% en escritura porcentual; aún en escritura decimal;...

registro semiótico: el lenguaje algebraico: escritura en la teoría de conjuntos; en escritura de funciones,...

registro semiótico: el lenguaje figural:

registro semiótico: esquemas pictográficos:

...

El pasaje de una representación semiótica a otra, en el mismo registro semiótico, se llama “transformación de tratamiento”:

transformación de tratamiento

transformación de tratamiento

El pasaje de una representación semiótica a otra, en otro registro semiótico, se llama “transformación de conversión”:

transformación de conversión

transformación de conversión

En semiótica, por tanto, son tres las operaciones fundamentales:

representación elección de los elementos distintivos del objeto que se va representar y la elección del registro semiótico en el cual se va a representar;

tratamiento;

conversión.

La construcción cognitiva de los objetos matemáticos está estrechamente ligada a la capacidad de usar varios registros de representación de dichos objetos. Podemos, por tanto, declarar que el alumno ha logrado el aprendizaje conceptual de un determinado objeto cuando está en grado de:

• elegir los rasgos distintivos de un concepto y representarlo en un determinado registro;

• tratar dichas representaciones al interno de un mismo registro;

• convertir dichas representaciones de un registro en un registro diverso.

Podemos considerar que un concepto está cognitivamente construido cuando el alumno está en grado de:

• identificar las propiedades del concepto que se pueden utilizar en un determinado contextos y por tanto de representarlo de manera adecuada según la situación;

• transformar dicha representación si la situación lo exige;

• usarlo en modo oportuno en una pluralidad de situaciones, incluso después de transformaciones de conversión.

A este punto se hace imperioso citar la célebre “paradoja cognitiva” de Duval; veamos en que consiste (Duval, 1993, pag.38; la traducción fue concordada con el Autor):

«(...) de una parte, el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser sino conceptual y, por otra parte, es sólo por medio de representaciones semióticas que es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. Esta paradoja puede constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo, sujetos en fase de aprendizaje, podrían no confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas si ellos sólo pueden tener relación con las representaciones semióticas? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos matemáticos, fuera de su representación semiótica, hace la confusión casi inevitable. Y, por el contrario, ¿cómo pueden adquirir el dominio de los tratamientos matemáticos, necesariamente ligados a las representaciones semióticas, si no tienen ya un aprendizaje conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es aún más fuerte si se identifica actividad matemática y actividad conceptual y si se considera la representación semiótica como secundaria o intrínseca».

En esta fase “paradójica” del aprendizaje, es necesario prestar mucha atención: de una parte el estudiante no sabe que está aprendiendo representaciones que están en lugar de conceptos mientras que lo que debería aprender son conceptos; si el docente nunca ha reflexionado sobre este punto, de otra parte, creerá que el estudiante este aprendiendo conceptos, mientras que lo que en realidad están “aprendiendo” es sólo hacer uso de representaciones (D’Amore, 1999a).

2.2. Construcción del conocimiento

El conjunto de estos tres elementos y las consideraciones precedentes evidencian la profunda relación que existe entre noética y constructivismo: construcción del conocimiento en matemática. Aceptamos a continuación esta idea, que consideramos apropiada, incluso para explicar las cuestiones relacionadas con la evaluación (esta idea aparece muy bien desarrollada en D’Amore, 2003b).

A este punto es imperioso hacer referencia a dos posiciones filosóficas diferentes sobre las cuales se basa, a veces inconscientemente, las acciones en el aula, los puntos de vista realista y pragmatista.

Estamos frente a la necesidad de hacer claridad sobre la naturaleza del significado de los objetos de la matemática, confrontando dos categorías diferentes en las cuales las teorías pueden ser divididas teorías realistas (o figurativas) y pragmáticas. Sólo haciendo claridad en la forma como se concibe el significado, adquiere sentido hablar de construcción del significado. Describiremos, brevemente, la macro-distinción filosófica entre teorías realistas y teorías pragmáticas (haciendo aún referencia a D’Amore, 2003b, al cual reenviamos para referencias bibliográficas específicas y más sofisticadas).

En las teorías realistas el significado es «una relación convencional entre signos y entidades concretas o ideales que existen independientemente de los signos lingüísticos; de consecuencia suponen un realismos conceptual (Godino, Batanero, 1994)». Como afirmaba Kutschera (1979): «Según esta concepción el significado de una expresión lingüística no depende del uso que se haga en situaciones concretas, sino que, por el contrario, el uso se sostiene sobre el significado, siendo posible una división neta entre semántica y pragmática».

En la semántica realista que se deriva, se atribuye a las expresiones lingüísticas funciones puramente semánticas: el significado de un nombre propio (como Bertrand Russell); los enunciados atómicos (como: ‘A es un río’) expresan hechos que describen la realidad (en tal caso: A es el nombre de un río); los predicados binarios (como: ‘A lee B’) designan atributos, aquellos indicados en al frase que los expresa (en este caso: la persona A lee la cosa B). Por tanto, cada expresión lingüística es un atributo de cierta entidad: la relación nominal que se deriva es la única función semántica de las expresiones.

Se reconocen aquí las bases de las posiciones de Frege, de Carnap, del llamado primer Wittgenstein, es decir del Tractatus.

Una consecuencia de esta posición es la admisión de una observación “científica” (a un mismo tiempo empírica y objetiva o inter-subjetiva) como podría ser, en un primer nivel, una lógica de los enunciados y de los predicados.

Desde el punto de vista que nos interesa, si vamos a aplicar los principios ontológicos de la semántica realista a la matemática, se obtiene necesariamente una visión platónica de los objetos matemáticos: en dicha visión, nociones, estructuras etcétera tienen una existencia real que no depende del ser humano, en cuanto pertenecen a un dominio ideal; “conocer” desde un punto de vista matemático significa “descubrir” entes y sus relaciones en dicho dominio. Además es obvio que dicha visión implica un absolutismo del conocimiento matemático en cuanto sistema de verdades seguras, eternas, no modificables por la experiencia humana, dado que son precedentes a estas o, por lo menos, extrañas a estas experiencias e independientes de estas.

Posiciones de este tipo, aunque con gradaciones diversas, fueron sostenidas por Frege, Russell, Cantor, Bernays, Gödel; pero encontró también violentas críticas [el convencionalismo de Wittgentsein y el casi empirismo de Lakatos: véase Ernest (1991) y Speranza (1997)].

En las teorías pragmáticas las expresiones lingüísticas tienen significados diversos según el contexto en el cual se usan y, por tanto, resulta imposible cualquier observación científica abstracta o externa en cuanto el único análisis posible es “personal” o subjetivo, pero siempre circunstanciado y no generalizable. Lo único posible es examinar los diversos “usos”: el conjunto de los “usos” determina de hecho el significado de los objetos.

Se reconocen aquí las posiciones del llamado segundo Wittgenstein, en su obra Investigaciones filosóficas, cuando admite que el significado de una palabra depende de su función en un juego lingüístico, dado que en este juego tiene un modo de ‘uso’ y una finalidad concreta que de hecho determina el modo en el cual se usa: la palabra, por tanto, no tiene por sí sola un significado, y sin embargo puede ser significativa.

Los objetos matemáticos son, por tanto, símbolos de una unidad cultural que emergen de un sistema de uso que caracterizan las pragmáticas humanas (o, por lo menos, de grupos homogéneos de individuos) y que se modifican continuamente en el tiempo, incluso según una necesidad específica. De hecho, los objetos matemáticos y el significado de dichos objetos dependen de los problemas que en matemática se afrontan y de los procesos de su resolución.

A este punto, una tabla que sintetice las ideas precedentemente expuestas puede ser oportuna, la que aquí presentamos fue tomada de D’Amore, Fandiño Pinilla (2001) y de otros trabajos de los mismos Autores.

Es obvio, y sería fácil demostrarlo con ejemplos filosóficos, que los dos campos no son del todo complementarios ni netamente separables, aunque, por motivos de claridad, preferimos dar esta impresión “fuerte”.

Para ayudar al Lector en lo que sigue, debemos explícitamente declarar que, con respecto a las bases filosóficas de la didáctica de la matemática, optamos por una elección de campo pragmática la cual nos parece más cercana a la realidad del proceso empírico de enseñanza - aprendizaje de la matemática.