El contrato didáctico

El contrato didáctico en educación matemática

Bruno D’Amore

Martha I. Fandiño Pinilla

Ines Marazzani

Bernard Sarrazy

Prólogo y epílogo de Guy Brousseau

Traducción de Deissy Narváez

El contrato didáctico en educación matemática

© Bruno D´Amore

Martha I. Fandiño Pinilla

Ines Marazzani

Bernard Sarrazy

© Cooperativa Editorial Magisterio

www.magisterio.com.co

Libro ISBN: 978-958-20-1417-9

Primera edición: 2018

Este libro fue publicado por la editorial Archetipolibri de Bologna, Italia, en el 2010. Fue el resultado de una investigación internacional en el ámbito de los PRIN (Programas de investigación científica de relevante interés nacional), con el título: Enseñar matemática, buenas prácticas y formación de los docentes, año 2008, n. prot. 2008PBBWNT, unidad de investigación de Bologna, NRD, dirigida por Bruno D’Amore, financiado por el Ministerio Italiano de la Instrucción y por la Universidad de Bologna.

Esta edición en español ha sido ampliada por los autores.

Traducción de Deissy Milena Narváez Ortiz.

Revisión lingüística y crítica de Martha Isabel Fandiño Pinilla.

Para Guy Brousseau,

quien enseñó al mundo todo esto

Bruno, Martha, Ines, Bernard

Contenido

El contrato didáctico en educación matemática

Prólogo

La didáctica de la matemática: los efectos del “contrato”

Premisa

Capítulo 1

Qué es el contrato en didáctica de la matemática

1.1. Nacimiento de los estudios sobre el contrato didáctico

1.2. Ejemplos

1.3. Más ejemplos y reflexiones acerca del contrato didáctico

1.4. Un ulterior ejemplo

1.5. Diferentes acercamientos a la idea de contrato didáctico

1.6. El contrato experimental

Capítulo 2

El Efecto Topaze

2.1. Una comedia francesa

2.2. Una comedia francesa y la didáctica

2.3. Algunos ejemplos de Efecto Topaze

2.4. Una muy breve conclusión

Capítulo 3

Efectos Jourdain y Dienes

3.1. Jourdain en una comedia francesa

3.2. Jourdain, una comedia francesa y la didáctica

3.3. Efecto Dienes

3.4. Ejemplos

3.5. Conclusiones

Capítulo 4

El contrato didáctico: una contribución teórica a la clarificación de algunas paradojas de la relación docente/estudiante

4.1. Introducción

4.2. La doble asimetría de las relaciones docente-estudiante en la situación didáctica

4.3. El contrato didáctico

4.4. Algunos ejemplos de los efectos del contrato

4.5. El contrato didáctico como un marco para el análisis de la relación didáctica

4.6. Paradojas del contrato y modelos de enseñanza

4.7. Conclusiones

Capítulo 5

El contrato didáctico: aspectos históricos, teóricos y epistemológicos

5.1. Los orígenes del contrato didáctico

A. El contexto empírico

B. El contexto epistemológico

5.2. La evolución del concepto en las investigaciones de Guy Brousseau

5.3 Contrato didáctico y devolución

5.4. El contrato didáctico: diferentes enfoques

A. El enfoque antropológico

5.5 Metacontrato y costumbre

A. El concepto de “metacontrato”

B. El concepto de “costumbre”

C. El contrato didáctico y la ingeniería didáctica

D. El enfoque psicosociológico

E. El contrato didáctico a través del paradigma etnográfico

F. El contrato didáctico en los modelos prescriptivos: la ideología de la transparencia

Conclusión

Epílogo

La educación matemática: los efectos del “contrato”

El contrato social

El contrato privado

El primer intento: las situaciones matemáticas (1965-1978)

La creación y la observación de situaciones nuevas

La observación de las fases didácticas (asignación e institucionalización); las paradojas del contrato

Los tipos de contrato. Lo dicho, lo no dicho y lo indecible

Las formas de evitar los inevitables fracasos

Las apuestas de la micro y de la macrodidáctica

Prólogo La didáctica de la matemática: los efectos del “contrato”

Guy Brousseau

Bruno D’Amore ha llevado a cabo, con la ayuda de ­Martha Isabel Fandiño Pinilla y otros colaboradores, un enorme ­trabajo de síntesis sobre los fundamentos matemáticos, epistemológicos, lingüísticos y psicológicos de la didáctica de la matemática, con el propósito de presentarlo no solo al público de los investigadores, sino también a los docentes. Este notable esfuerzo no solo es un excelente trabajo de compilación, sino que se amplía y se nutre a la vez del trabajo personal de estos autores.

La obra a la cual tengo el honor de poner el prólogo es parte de esta empresa. Ésta reúne varios de sus artículos que proporcionan una contribución significativa al importante tema, el famoso, pero poco conocido, “contrato didáctico”. Este concepto ha sido objeto de numerosas interpretaciones, confusas e incluso contradictorias, desde su introducción a finales de la década de los años 70.

Para explicar la dificultad de la tarea realizada por los autores, se hace necesario exponer las causas, consecuencias e implicaciones de la confusión en torno a este delicado tema (sobre esto, ver mi epílogo de este mismo libro).

El presente texto muestra de una forma oportuna que son los efectos a largo plazo del contrato los que hacen evidente su importancia, y esto desborda un poco mi responsabilidad. Mi trabajo, repartido en cerca de cuarenta años, siempre fue incompleto y de difícil acceso debido a la amplitud de las investigaciones conexas necesarias, de las cuales habría tenido que esperar los resultados. Este hecho ha llevado a ­algunos investigadores a utilizar las interpretaciones simples pero falsas de la noción de contrato, para justificar concepciones educativas, que nuestros trabajos denunciaban, sin embargo, como erróneas y peligrosas. Ninguna obra de síntesis sobre esta cuestión se ha publicado hasta ahora, ni siquiera en Francia. El primer mérito de los autores de este libro fue emprender un proyecto que me sentía incapaz de completar con éxito, el segundo ha sido el de lograr llevarlo a cabo exitosamente.

Bruno D’Amore, Martha Isabel Fandiño Pinilla, Inés ­Marazzani y Bernard Sarrazy se hicieron cargo de los puntos principales presentados en una serie de publicaciones, para mostrar algunas diferencias con la exposición ulterior de otros autores, e ilustran los aspectos importantes, recordando algunos ejemplos y presentando unos nuevos. El resultado es hacer accesible los aspectos esenciales de la teoría del contrato didáctico. Yo los saludo aquí y, al mismo tiempo, saludo su talento, su competencia, su humildad y sobre todo les agradezco. Les doy las gracias por su contribución a un tema que es querido para mí y, sobretodo, por la indulgencia y la amistad que de esta forma ellos me demuestran.

Premisa

La idea de contrato didáctico se difundió entre las ideas de didáctica de la matemática en los años 80, cuando Guy Brousseau, investigador en este campo, a la luz de su experiencia como docente de escuela primaria en los años 60, reportó el problema a la comunidad de investigadores y docentes. En sus primeros trabajos sobre el tema afirmaba que, en matemática, el reconocimiento y la práctica de conocimientos y de los medios más generales del pensamiento deben acompañar la práctica de las técnicas comunes indispensables.

Era una novedad absoluta, pero se reveló un elemento de gran impacto que cambió la historia de las investigaciones en este campo. La didáctica A (ars docendi, el arte de enseñar) comenzaba a convertirse en B (la epistemología del aprendizaje matemático). Pero tuvieron que pasar veinte años, y el proceso aún no está del todo terminado…

La idea de contrato didáctico fue, sin duda, la más mencionada en el mundo de la bibliografía sobre didáctica producida entre los años 80 hasta el año 2000, en adelante; pero hoy tiende, a veces, a ser un poco evanescente. Tanto es así, que en los cursos de didáctica de la matemática, en los programas de formación en las universidades y en los cursos de capacitación de docentes en servicio, a menudo se da casi por sentado, como si tuviera que estar ya, de entrada, incorporado de alguna manera en los conocimientos adquiridos sin una enseñanza explícita.

Sin embargo, no es así, aunque todo docente, de cualquier grado escolar, se percata de la increíble potencia del medio y la eficacia de su fuerza de análisis de las situaciones ­reales del aula de clase. Tanto, que otras disciplinas se lo han apropiado.

Así, a distancia de unos 50 años, hemos decidido dedicar un breve ensayo a varias manos a este maravilloso y siempre sorprendente tema, acompañando al lector novato en su conocimiento, para darle, no solo las ideas de base, sino también invitarlo a algunas reflexiones más agudas y modernas, para que tenga la oportunidad de formarse una idea completa. Con este propósito hemos recogido y revisado cinco (5) artículos sobre este tema, con la esperanza de llegar a configurar un producto cómodo para el docente en servicio y para el estudiante en formación como docente, de todo nivel escolar. Sabemos que buscar pasajes de libros y artículos dispersos no siempre es fácil, mientras que disponer de un manual de bolsillo sobre el tema, sí lo es.

En esta breve reseña, hemos decidido afrontar solo un punto de vista muy parcial de la problemática mucho más amplia del complejo y multiforme tema del contrato didáctico; queremos dedicarnos sobre todo a los llamados “efectos”, porque nos parecen muy interesantes para un docente no investigador que quiera empezar este tipo de estudios. De hecho, hemos decidido abordar solo algunos de estos efectos, dejando al margen otros, que son sutiles pero de igual interés e intensidad, para no sobrecargar de información al lector y no alargar demasiado el tratamiento. Por ejemplo, evitaremos aquí hablar de los siguientes efectos:

 La descomposición de los objetivos, que implica la fragmentación del saber y el abandono de los objetivos de alto nivel taxonómico;

 El abuso de la analogía que, a cambio de un aparente éxito en el aprendizaje, conduce a un fracaso;

 La división de las clases en grupos homogéneos, que conduce a la individualización;

 La explicación y la ilustración que conducen al deslizamiento metadidáctico (debatido ampliamente en el artículo:Brousseau G., D’Amore B. (2008). “I tentativi di trasformare analisi di carattere meta in attività didattica. Dall’empirico al didattico”. En: D’Amore B., Sbaragli F. (eds.) (2008). Didattica della matematica e azioni d’aula. Atti del XXII Convegno Nazionale: Incontri con la matematica. Castel San Pietro Terme (Bo), 7-8-9 novembre 2008. Bologna: Pitagora. 3-14.

Cada uno de estos, y otros, se pueden encontrar en las diversas obras de Guy Brousseau, quien tiene en curso, precisamente en estos años, la redacción de una vasta obra de recopilación de todo su material de estudio e investigación, precisamente, respecto al tema del “contrato didáctico”.

Damos las fuentes de los distintos capítulos del libro:

 El capítulo 1 es una revisión del capítulo 3 del libro: D’Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Prólogo de Colette Laborde. Bologna: ­Pitagora. [Versión en idioma español: D’Amore, B. (2006). ­Didáctica de la Matemática. Prólogos de Guy ­Brousseau, Colette Laborde y Luís Rico Romero. ­Bogotá: Editorial Magisterio. Versión en idioma portugués: D’Amore, B. (2007). Elementos da Didática da Matemática. Prólogos de Guy Brousseau, Ubiratan D’Ambrosio, Colette Laborde y Luís Rico Romero. São Paulo: Livraria da Física].

 El capítulo 2 está basado en el artículo: D’Amore, B., & Fandiño Pinilla, M.I. (2009). “L’effetto Topaze. Analisi delle radici ed esempi concreti di una idea alla base delle riflessioni sulla didattica della matemática”. La matematica e la sua didattica, 23 (1), 35-59.

 El capítulo 3 está basado en el artículo: Marazzani, I. (2009). “L’effetto Jourdain e l’effetto Dienes. Analisi delle radici ed effetti concreti di una idea alla base delle riflessioni sulla didattica della matemática”. La matematica e la sua didattica, 23(3), 319-342.

 El capítulo 4 está basado en el artículo: Sarrazy, B. (2009). “Insegnare ed apprendere: un’analisi didattica di alcuni paradossi di una relazione apparentemente contrattuale”. En: D’Amore, B., & Sbaragli, S. (2009). Pratiche matematiche e didattiche in aula. Actas del congreso nacional: “Incontri con la matematica n. 23”. Castel San Pietro Terme, 6-8 noviembre 2009. Bologna: Pitagora. 41-48.

 El capítulo 5 está basado en el artículo: Sarrazy, B. (1995). “Le contrat didactique”. Revue française de pédagogie, 29(112), 85-118. [Versión en idioma ­italiano: Sarrazy, B. (1998). Il contratto didattico. La matematica e la sua didattica, 12(2), 132-175].

Optamos por presentar la bibliografía específica al final de cada capítulo, para favorecer a quien quiera profundizar en algún tema.

Por último, nos limitamos aquí a dos indicaciones bibliográficas dirigidas al lector que quería incluir esta temática en un conjunto más amplio relativo a la didáctica de la matemática.

1 D’Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Citado arriba.

2 D’Amore, B. (2003). Le basi filosofiche, pedagogiche, epistemologiche e concettuali della didattica della matematica. Prologo de Guy Brousseau. Bologna: Pitagora. [Versión en idioma español: D’Amore, B. (2005). Bases filosóficas, pedagógicas, epistemológicas y conceptuales de la Didáctica de la Matemática. Prólogos de Guy Brousseau y Ricardo Cantoral. México DF, ­México: ­Reverté-Relime. Versión en idioma portugués: D’Amore, B. (2005). Epistemologia e didáctica da Matemática. Prólogos de Guy Brousseau, Ricardo ­Cantoral y Ubiratan D’Ambrosio. São Paulo: ­Escrituras].

Capítulo 1 Qué es el contrato en didáctica de la matemática

1.1. Nacimiento de los estudios sobre el contrato didáctico

En el inicio de los años 70 ingresó en el mundo de la investigación en didáctica de la matemática la idea de contrato didáctico, propuesta por Guy Brousseau (IREM Bordeaux, 1978), idea que se reveló inmediatamente fructífera y que fue convalidada definitivamente por tres famosos estudios, dos del mismo Brousseau (1980a, 1980b) y uno de Brousseau y Pères (1981), (el célebre caso de Gaël, que describiremos líneas abajo).

Las reflexiones sobre los medios para realizar este proyecto comienzan con la observación de las clases entre 1972 y 1975. Estas surgen en el marco de su curso de III ciclo en 1975 y se convierten en objeto de textos difundidos a partir de 1979, publicados en 1980, y luego, con el estudio de los fracasos electivos y del “caso Gaël”.

La idea nació, en efecto, para estudiar las causas del fracaso electivo en matemática, es decir, aquel típico fracaso reservado solo al dominio de la matemática, por parte de los estudiantes que, más o menos, parecen…, arreglárselas con las otras materias.

Gaël es un niño que cursa el segundo año de primaria aunque tiene más de 8 años, la condición en la que los investigadores hallaron a Gaël se describe como sigue:

 en lugar de expresar conscientemente su propio conocimiento, Gaël lo expresa única y exclusivamente en términos que involucran al docente;

 sus competencias no son nunca sus propias competencias personales, sino lo que la docente le ha enseñado;

 sus capacidades estratégicas no son nunca sus propias capacidades, sino lo que (y cómo) la docente ha dicho que debe hacer.

Toda situación didáctica la vive a través del docente, solo hasta que los investigadores obtienen de él –gracias a situaciones a-didácticas–, intervenciones más personales que, finalmente, son mucho más productivas cognoscitivamente.

Fueron los estudios de la segunda mitad de los años 80 los que decretaron el triunfo y la teorización plena de esta idea; estamos pensando, por ejemplo, en trabajos del mismo Guy Brousseau (1986) y de Yves Chevallard (1988a).1

La idea, de puro espíritu francés,2 no era completamente nueva.

En 1973 y en 1974, Jeanine Filloux (1973, 1974) había propuesto la idea de contrato pedagógico para definir algunos tipos de relación entre docente y estudiante.3

El de Filloux era un contrato general, más social que cognitivo, mientras el contrato didáctico de Brousseau toma en cuenta, también, tanto los conocimientos en juego (cuya toma en cuenta, como veremos, es esencial para el concepto mismo de contrato didáctico) como la situación escolar. Se trata de lo siguiente:

En una situación de enseñanza, preparada y realizada por un docente, el estudiante tiene como tarea resolver el problema (matemático) que se le presenta, pero el acceso a esta tarea se hace por medio de una interpretación de las preguntas dadas, de las informaciones proporcionadas y de las obligaciones impuestas que son constantes del modo de enseñar del docente. Estos hábitos (específicos) del docente esperados por los estudiantes y los comportamientos del estudiante esperados por el docente constituyen el contrato didáctico. (Brousseau, 1980a, p. 127; véase también Schubauer-Leoni, 1996, p. 21)

A menudo estas “expectativas” no se deben a acuerdos explícitos impuestos por la escuela o por los docentes, o son concordados con los estudiantes, sino a la concepción de la escuela, de la matemática, a la repetición de modalidades. Volveremos con ejemplos sobre este tema en los apartados 1.3 y 1.4.

1.2. Ejemplos

Dada la increíble variedad de interpretaciones posibles de la idea de contrato didáctico (que explícitamente recordaremos en el apartado 1.5.), no es para nada sencillo dar ejemplos. Nos limitaremos por lo tanto a proporcionar unos cuantos tomándolos de la bibliografía, pero advirtiendo que se trata de ejemplos de niveles muy diferentes entre ellos, seleccionados precisamente para dar la idea de la enorme variedad con la que hoy en día se hace referencia a la idea de contrato didáctico. Es precisamente gracias a esta variedad que esperamos englobar todo lo que hoy pasa bajo esta denominación. Los primeros tres ejemplos son de carácter general y, desde nuestro punto de vista, mucho más cercanos al “contrato social” que al “contrato didáctico”.

 Ejemplo 1 (ligado a la concepción de la escuela, por lo que se halla más cerca del contrato “social” que del “didáctico”). El estudiante considera que la escuela es directiva y exclusivamente calificadora. Es decir, el único fin de la escuela es el de evaluar el rendimiento y capacidad de los estudiantes; por lo que, aunque el docente pida al estudiante escribir libremente lo que piensa, por ejemplo acerca de las alturas de un triángulo, el estudiante considera que tiene que hacerlo usando un lenguaje lo más riguroso posible, porque supone que bajo ese pedido existe, de cualquier modo, una prueba, un control. Por lo que no escribirá para nada “libremente” sino que, en cambio, buscará dar la definición que considera ser la correcta, es decir, la que cree que el docente espera. Normalmente, en esta situación, el estudiante usará un lenguaje lacónico y con sintaxis complicada, que tenderá a tener como modelo el lenguaje del libro de texto, el del docente en clase o el de sus compañeros más exitosos, por lo que se reduce a una repetición de enunciados, de definiciones, de reglas a seguir.

 Ejemplo 2 (ligado a la concepción de la matemática y por lo tanto relativo a un “contrato” más ­general que el didáctico). El estudiante considera que en matemática se deben hacer cálculos; por lo que, aunque la ­respuesta a la pregunta propuesta en un problema podría darse solo respondiendo con palabras, el estudiante se siente incómodo y tiende a hacer uso de los datos numéricos presentes en el texto del problema, para dar de cualquier forma una ­respuesta formal, usando alguna operación, aunque elegida ­casualmente. Han sido ampliamente documentados casos de estudiantes que, con tal de producir cálculos, escriben operaciones sin sentido, desligadas de los requerimientos del problema, pero que tienen como operadores los datos numéricos presentes en el texto.

 Ejemplo 3 (ligado a la repetición de modalidades, por así decirlo, “sociales”). Durante tres lunes consecutivos el docente de matemática pide a los estudiantes resolver ejercicios en el tablero; de ahí en adelante el estudiante sabe que todos los lunes será así, una modificación al programa esperado genera sorpresa. Lo mismo vale, por ejemplo, en cuanto a la expectativa de los temas posibles en una prueba de evaluación; si el docente siempre ha hecho únicamente preguntas acerca del programa desarrollado en las últimas clases, no puede, según el estudiante, hacer preguntas sobre argumentos vistos en clase de un pasado más remoto…

El estudio de los diferentes fenómenos de comportamiento de los estudiantes desde este punto de vista ha dado resultados de sumo interés. Hoy, muchos comportamientos considerados hasta hace poco tiempo como inexplicables o ligados al desinterés, a la ignorancia, a la incapacidad lógica o la edad inmadura, han sido clarificados; en la base de esta problemática existen motivaciones mucho más complejas e interesantes.4

Uno de los estudios más notables es el que se conoce con el nombre de la edad del capitán, puesto en evidencia de una manera bastante difundida a través de un libro con ese título, de la psicóloga francesa Stella Baruk en 1985. Aquél libro fue, en realidad, precedido por un célebre estudio publicado en 1980 en Grenoble (IREM Grenoble, 1980) y por un vasto y largo debate acerca de tal resultado y sus interpretaciones. Contaremos en las líneas sucesivas en qué consiste, pero de una forma un poco más personal, tal como lo hemos vivido directamente (D’Amore, 1993b).

En una clase de 4° grado de primaria compuesta por estudiantes de 9-10 años de edad de un importante centro agrícola, hemos propuesto el muy célebre problema (en el cual el capitán se convierte en un pastor):5 «Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras. ¿Cuántos años tiene el pastor?». En coro, con seguridad, todos los niños sin excepción y sin ninguna reserva, dieron la respuesta esperada: «18». Frente a la aflicción de la docente, reaccionamos explicándole que se trata de un hecho ligado al contrato didáctico: ella nunca había propuesto problemas sin solución o problemas imposibles (en alguna de las tantas formas de imposibilidad),6 por lo que los niños habían, por decirlo de una manera simplista, introducido en el contrato didáctico una cláusula (de confianza en el docente, y de imagen de la matemática) del tipo: «Si la docente nos da un problema, ciertamente debe poder resolverse».

Los estudios conducidos por el IREM de Grenoble motivaron a Adda (1987) a acuñar la expresión efecto edad del capitán para «designar la conducta de un estudiante que calcula la respuesta de un problema utilizando una parte o la totalidad de los números que se han proporcionado en el enunciado, cuando este problema no tenga una solución numérica» (Sarrazy, 1995).

Tal efecto forma parte de los llamados de ruptura del ­contrato didáctico (Brousseau, 1988; Chevallard, 1988a): si el estudiante se da cuenta de lo absurdo del problema ­propuesto, necesita hacerse cargo personalmente de una ruptura del contrato didáctico, para poder contestar que el problema no se puede resolver. En efecto, esta nueva situación contrasta con todas sus expectativas, con todos sus hábitos, con todas las cláusulas puestas en el ámbito de las situaciones didácticas.

El contrato es necesario para dar esperanza, pero es ilusorio.

Este será fatalmente roto: el saber no es lo que se puede suponer antes. El aprendizaje lleva a una renuncia de lo que se creía antes, a lo que la ignorancia hacía suponer. En realidad aquí se insertan al menos otras dos problemáticas conectadas entre sí y vinculadas con el contrato didáctico, pero autónomas, que trataremos de describir rápidamente.

La primera la decimos siguiendo las palabras y las preguntas que se plantean Perret-Clermont, Schubauer-Leoni y Trognon (1992):

Frente a los enunciados de problemas, los estudiantes se han […] acostumbrado a no poner en discusión la legitimidad o la pertinencia de las preguntas del docente, y eso les permite por otra parte funcionar más económicamente teniendo ‘de manera natural’ confianza en el adulto. De acuerdo con esta lógica todo problema tiene solución y además una solución ligada a los datos presentes en el enunciado. Frente a un problema que no tiene solución, ¿Cómo se comportará el estudiante? Confrontado por la costumbre constantemente repetida de un “contrato didáctico” según el cual el docente no tiene como objetivo ‘engañar’ al estudiante poniéndole un problema sin solución, el estudiante que cree haber descubierto un fraude en la pregunta del docente, ¿Denunciará la ruptura del pacto en nombre de la lógica del problema? o ¿Asumirá sobre si [sic] mismo la ruptura del contrato, dando en todo caso una respuesta, cueste lo que cueste, aunque sabe desde el inicio que no es correcta o que por lo menos es dudosa? Ahora, el estudio del comportamiento del estudiante frente a problemas a los cuales no se puede dar una respuesta tiene ya una historia en sí misma y una ­bibliografía inmensa (sobre algún aspecto de esto regresaremos dentro de poco). Aquí era interesante ver el aspecto que liga: las expectativas del estudiante, sus costumbres convertidas en cláusulas del contrato didáctico y la propuesta de un problema imposible, estudiadas por medio del recurso al ­contrato didáctico.

La segunda problemática se refiere en cambio, más en general, a los modelos conceptuales de “problema” que se hacen los estudiantes. Fundamental con respecto a lo anterior es el largo estudio de Rosetta Zan (1991-1992) ­realizado con niños de primaria, y al cual haremos referencia.7 En primer lugar, parece evidente que los niños distinguen el ­problema real, concreto, el ligado a la vida extra-escolar, del problema escolar: saben que cuando se dice problema en la ­escuela durante la clase de matemática, no se refiere a problemas reales, sino a problemas artificiales, prefabricados, con todas sus características ya codificadas. Además: «para la mayoría, el problema se caracteriza por medio del tipo de ­procedimiento que se usa para la solución: es decir se define implícitamente por la necesidad de realizar operaciones» (Zan, 1991-1992), como bien saben todos los docentes del mundo.

Por lo tanto, lo que caracteriza al problema es la operación que se necesita realizar para resolverlo, agregando elementos estructurales (una situación, algunos datos numéricos que caracterizan la situación) y algunos elementos variables (el tipo de situación, los protagonistas, los objetos).

De lo anterior «emerge […] en modo inequívoco que el problema escolar es para los niños el problema aritmético: ¡solo 2 niños de (grado) quinto (de 123) llevan un ejemplo alternativo, en particular un ejemplo geométrico!» (Zan, 1991-1992).

Es de sumo interés para nuestros objetivos ver cuáles son las respuestas de los niños a la pregunta sobre cuáles son los comportamientos que se deben poner en acto durante la resolución de un problema escolar: «En este punto las ­indicaciones de los niños son unánimes: se necesita leer y releer el texto, razonar, estar tranquilos y trabajar por sí solos» (Zan, 1991-1992); las respuestas revelan normas explícitas de un contrato comportamental, evidentemente ­requeridas (trabajar por sí solos) o sugeridas (leer y releer el texto) por los docentes.

Se ve cómo todo el mundo de la resolución de ­problemas se halla cubierto tanto de cláusulas normativas de los ­contratos didácticos o pedagógicos (las normas y las solicitudes) como de cláusulas implícitas, no dichas por el ­docente, sino creadas poco a poco por los estudiantes sobre la base de recurrencias que han llevado a modelos ­generales de problema, lo que constituye condicionamientos insuperables.

Quizás conviene decir aquí explícitamente que, con base en lo visto hasta ahora, el contrato didáctico no es una realidad estable, estática, establecida de una vez por todas; al contrario, se trata de una realidad en evolución (Chevallard, 1988a, especialmente de la p. 33 en adelante) que se acompaña de la historia de la clase.8

También queremos hacer notar que existe una contradicción entre expectativas y declaraciones explícitas de los estudiantes. Muchos estudiantes declaran que el objetivo por el cual el docente da un problema para resolver es el de verificar si los estudiantes saben razonar, como se atestigua en el estudio de Zan (1991-1992); pero después el problema se identifica con su resolución. Valga para todos la respuesta seca que ha dado un niño cuando, impaciente por los requerimientos acerca del razonamiento seguido, declaró con extrema sinceridad: «Lo importante no es entender sino resolver el problema» (hemos recogido este testimonio con un detallado comentario en D’Amore, 1996b).