Jerónimo Muñoz

De los autores medievales, además de Sacrobosco, Muñoz menciona a Alfraganus, cuyo Compendium, muy difundido en el siglo XVI a través de la traducción de Juan Hispalense, conocía bien. Y para los valores de diversos parámetros y otros datos astronómicos, Muñoz se valió de la versión latina de las Tablas Alfonsíes referidas siempre con el nombre de «Alfonso». Otros autores árabes, como el autor del tratado De motu octavae spherae, atribuido a Tābit b. Qurra, son utilizados en aspectos particulares, pero no citados.

De los autores contemporáneos, además de Finé y Gemma Frisius, los más citados y utilizados son Regiomontano (Epitome y Tabulae directionum) y Erasmus Reinhold (Tablas Pruténicas y Tabulae directionum), si bien para cuestiones particulares, especialmente cálculos matemáticos, tablas y datos también cita a Copérnico, cuyo sistema del mundo critica y cuya obra de astronomía matemática estudió con atención.

Figura 3 Portada de De Mundi Sphaera, sive Cosmographia (1542) de Oronce Finé. Ejemplar que debió pertenecer a Muñoz, ya que incluye numerosas anotaciones al margen (Biblioteca Nacional de Madrid)

Como el título indica, la obra está estructurada en libros (6) y capítulos. El número de libros no debe ser totalmente ajeno al Hexameron o los seis días de la creación.³⁶

El Libro I comienza con una introducción en la que Muñoz señala que la exposición de las doctrinas matemáticas debe huir de la retórica, como ya aconsejaba Platón; es decir, no se trata de persuadir a los oyentes con argumentos probables y con palabras seductoras, sino con demostraciones, mediante un lenguaje breve y preciso. Los matemáticos, dice Muñoz, se dedican a la búsqueda de las cosas, no de las palabras, y «piensan que ellos pueden desvelar los secretos de los cielos y los designios superiores». Muñoz expresa así su elevada consideración de las disciplinas matemáticas, incluida la astrología, cuya exactitud y certeza pondera en varias de sus obras frente a la irresolución de la filosofía natural.

Para situar adecuadamente la materia de la esfera en relación con las disciplinas matemáticas, Muñoz considera necesario ocuparse de la clasificación de estas. Para ello, recurre a la exposición del tema realizada por Proclo en su Comentario al primer libro de los Elementos de Euclides, donde este autor describe la clasificación de los pitagóricos y la de Gémino. La de Gémino la critica, entre otras razones, por omitir la astrología judiciaria y el estudio de la esfera.³⁷ A continuación expone su propia clasificación, que, según dice, concuerda con la de los peripatéticos. En efecto, Muñoz conviene con Aristóteles en que las formas matemáticas no subsisten por sí mismas ni son entes intermedios entre las ideas y las cosas sensibles, como afirmaba Platón, sino que se realizan por abstracción del movimiento y la materia.

Siguiendo a Aristóteles, divide la cantidad en continua y discreta. De esta última se ocupan la aritmética, la logística y la música. De la continua trata la geometría pura, que si se ocupa de líneas o superficies, se llama epipedometría; si examina las tres dimensiones, estereometría; si se aplica a los campos, geodesia; a los volúmenes sensibles, geometría práctica, y a la visión, óptica o perspectiva. Muñoz excluye las artes mecánicas de las matemáticas, aunque reconoce que aquellas usan y se derivan de estas.

En cuanto a los astros, la astrología surge de la aritmética, la geometría y la óptica aplicadas al cálculo de las alturas, distancias, movimientos y posiciones de los cuerpos celestes. A la astronomía le corresponden las teorías de los planetas, de las cuales se derivan las tablas. De la esfera surge la horologiografía y la geografía. La astrología, llamada «apotelesmata», examina el influjo de los astros sobre los hombres.³⁸ Esta se divide en genetlíaca, que explora los accidentes de los nacidos, y la que trata de las revoluciones o mutaciones de los tiempos, que los teólogos no consideran ilícita, siempre que se prescinda de todo determinismo. La tercera parte de la astrología judiciaria versa sobre las interrogaciones, a la que Muñoz considera vana e ilícita. La cuarta parte se ocupa de la elección de los tiempos y es en parte lícita y en parte ilícita, pues, dice Muñoz, ha sido muy corrompida por los paganos y seguidores de Mahoma, como también las otras tres partes. Finalmente, Muñoz rechaza la magia natural, particularmente la que usa de imágenes astrológicas, a la que no concede ninguna credibilidad.

Seguidamente, Muñoz expone las definiciones y nociones básicas de geometría y de óptica, extraídas de los Elementos y la Optica de Euclides, que considera indispensables para el estudio de la «esfera».

Tras esta introducción matemática, Muñoz desarrolla los temas habituales de la esfera en la tradición ptolemaica expuestos por Ptolomeo en el Libro I del Almagesto y resumidos por Sacrobosco en el capítulo 1: la figura del mundo es esférica, el mundo se mueve en torno a los polos inmóviles, la tierra es de forma esférica, la tierra está en el centro del mundo, etc. Sin embargo, Muñoz no menciona la teoría de los elementos, ni se refiere, como era habitual en este tipo de obras, a las dos regiones, elemental y celeste.³⁹ Tampoco discute aquí la naturaleza de los orbes o esferas celestes, en cuya solidez y existencia como portadores de los planetas Muñoz no creía; ello cabe explicarlo por el carácter introductorio de la obra.

Sobre la situación de la Tierra en el centro del mundo, Muñoz menciona la doctrina de Filolao según la cual era el fuego el que ocupaba el lugar central del cosmos, siendo la tierra uno de los astros, y la de Copérnico, «que renovó en cierto modo aquella opinión afirmando que el Sol está en el centro y la Tierra en el cuarto cielo bajo Saturno» (14r). Muñoz trata de refutar esta teoría con argumentos astronómicos tomados principalmente de Ptolomeo y Teón, ya que dice que a las afirmaciones derivadas de las matemáticas hay que responder con razones matemáticas.⁴⁰ Gran parte de estos argumentos dependían del supuesto de que el cosmos era lo suficientemente pequeño como para que el desplazamiento de la Tierra del centro produjera efectos apreciables, por lo que hemos de suponer que Muñoz compartía este supuesto, aunque en otros lugares se muestra escéptico acerca de las estimaciones de las distancias planetarias y de las dimensiones del cosmos.⁴¹ No obstante, Muñoz también menciona el desorden cósmico que provocaría que el Sol estuviese en el centro del mundo y la Tierra en el cuarto cielo, ya que esta no sería pesada ni de naturaleza elemental, sino celeste.⁴²

Después, tras mostrar que la Tierra es «casi un punto comparada con los cuerpos celestes», insiste en que esta no se mueve con ningún movimiento, sino que permanece inmóvil, y afirma que «no es de admirar si ceñida por todas partes por la vasta mole del cielo se mantenga siempre inmóvil en medio…» (17v), idea de claras resonancias estoicas que puede verse en Ptolomeo y en Plinio.⁴³ En este caso, Muñoz no trata tanto de refutar la teoría de Copérnico como de mostrar lo que se seguiría del movimiento combinado de la Tierra y el Sol: es decir, pone en movimiento la Tierra manteniendo el movimiento de los cielos y examina las consecuencias siguiendo principalmente a Teón de Alejandría.⁴⁴

Muñoz explica después que existen dos tipos de estrellas: fijas y «errantes» o planetas, y expone la ordenación de los planetas según Ptolomeo. Se refiere a los diversos movimientos de los planetas sin entrar en detalles acerca de los modelos o «teóricas», menciona los movimientos medios y habla también del movimiento propio de las estrellas.⁴⁵ En relación con esto, además de la cifra de Ptolomeo, que consideraba constante el valor de la precesión, da la de las Tablas Alfonsíes, que incluía una componente variable. Muñoz se muestra muy escéptico acerca de la posibilidad de esclarecer la verdad de estas cosas, a las que considera «por encima de las fuerzas del hombre» (19r).

Muñoz da las distancias del Sol y la Luna a la Tierra, así como las de Mercurio y Venus, según Ptolomeo. Estas últimas, con el supuesto de que la distancia mínima de Mercurio es la máxima de la Luna, y la máxima de Mercurio la mínima de Venus, según expone Ptolomeo en la Hipótesis de los planetas, aunque Muñoz aquí tan solo cita el Almagesto. En esta última obra Ptolomeo no se ocupa de las distancias planetarias, sino solo de las del Sol y la Luna.⁴⁶

Junto a las cifras de Ptolomeo, Muñoz da también las de Alfragano, incluyendo aquí las de los planetas superiores y las fijas. Estas últimas las considera «temerarias», ya que la paralaje de Marte es desconocida y es opinión general que carece de él (20r). Finalmente, incluye también las cifras de Copérnico para la paralaje y distancias máxima y mínima de la Luna a la Tierra, así como las distancias del Sol y los tamaños relativos Tierra-Lu-na-Sol (20r-v).

En el segundo libro de este tratado, Muñoz (21v y ss.) se ocupa de «los círculos de la esfera del mundo»: ecuador, zodíaco, trópicos, etc., y de las coordenadas para determinar la posición de los astros en la esfera: latitud y longitud (coordenadas eclípticas), acimut (coordenada horizontal; Muñoz la llama «elongación») y declinación (coordenada ecuatorial). La otra coordenada ecuatorial, a saber, la ascensión recta, la estudia separadamente en el libro siguiente al ocuparse del orto y ocaso de los astros, de acuerdo con la tradición griega. Y la otra coordenada horizontal, la altura del astro sobre el horizonte, también es tratada separadamente, dada su importancia para determinar la latitud geográfica; aunque aquí, al final del libro, al ocuparse de las coordenadas geográficas (latitud y longitud) menciona la altura del polo por su equivalencia con la latitud geográfica.

Al ocuparse de la eclíptica y de su inclinación con respecto al plano del ecuador, que es igual a la máxima declinación del Sol, Muñoz comenta su variación secular, le atribuye a su declinación una variación periódica de 7.000 años y menciona una octava esfera móvil y una novena fija: los puntos Aries y Libra de la móvil describen un pequeño círculo en torno a los puntos de la novena en 7.000 años.⁴⁷ Incluye una tabla de declinaciones de cualquier grado de la eclíptica sabiendo que la máxima es de 23º 28’, tomada del Epitome de Regiomontano y Peurbach. Muñoz expone también la manera de evaluar la oblicuidad de la eclíptica, observando la altura del Sol en los solsticios, que es cuando la declinación de este es máxima, si bien de signo contrario, o tomando otros dos puntos de la eclíptica separados 180º, en los que el Sol presenta la misma declinación, aunque de signo contrario.

Figura 4 La esfera recta y oblicua, según Martín Cortés (Breve compendio de la esfera y del arte de navegar,1551)

Al tratar del horizonte Muñoz introduce las distinciones clásicas de «esfera recta»: la esfera celeste para los habitantes del ecuador y la «esfera oblicua» para los que habitan en un horizonte oblicuo con respecto al ecuador. A continuación se ocupa de la longitud del grado del meridiano terrestre y cita a Faleiro, «matemático y navegante peritísimo», según el cual 1º correspondería a 16 2/3 leguas o 66666 pasos (26v). Por su parte, dice que a partir de su experiencia en los itinerarios terrestres 1º correspondería a 68.000 pasos o 17 leguas, con lo que el meridiano terrestre mediría 6.120 leguas o 24 480.000 pasos, equivalentes a 195.840 estadios.⁴⁸

Finalmente, Muñoz se ocupa de la línea meridiana y explica con detalle la manera práctica de trazarla.

En el Libro III Muñoz explica el orto y ocaso de los astros, así como las ascensiones en esfera recta y oblicua (21v y ss.). Estas eran cuestiones ampliamente tratadas por los autores griegos: Autolyco, Euclides, Hiparco, Hypsicles, Gémino y Ptolomeo, sobre todo por su importancia para establecer el tiempo y, en el periodo alejandrino, por motivaciones astrológicas. En la vida ordinaria, los griegos dividían el tiempo entre la salida del Sol y la puesta en 12 horas estacionales, que cambiaban de longitud a lo largo del año. De manera similar, la noche también se dividía en doce horas estacionales, todas iguales entre sí pero no iguales a las del día (excepto en los equinoccios). Por otra parte, en el curso de cada noche salen seis signos del zodíaco, aunque los tiempos requeridos por cada signo para salir son diferentes: es la ascensión del signo; si se sabe el tiempo requerido para salir de cada signo, se puede evaluar el tiempo. Autolico de Pitane y Euclides se ocuparon del tema de los ortos y ocasos de los astros y de los ascensos de los arcos del zodíaco, y formularon varias reglas deducidas del estudio de la esfera celeste, aunque sin proporcionar procedimientos cuantitativos para calcular los tiempos de ascenso. El tratamiento matemático del problema comenzó hacia el siglo II a. n. e. En esta época Hiparco proporcionó, al parecer, tablas de ascensiones, e Hypsicles aplicó el procedimiento babilónico de las progresiones aritméticas para obtenerlas. En la época de Ptolomeo el problema estaba completamente resuelto. En el Almagesto Ptolomeo proporcionó procedimientos matemáticos para calcular ascensiones y una tabla de ascensiones de diez en diez grados para cada signo del zodíaco desde el ecuador hasta el clima de 17 horas (que corresponde a la latitud de 54º, donde el día más largo del año dura 17 horas equinocciales). Asimismo, mostró el uso de este tipo de tablas para la investigación de la longitud del día y de la noche para un clima o latitud conocida; para la conversión de horas equinocciales en horas estacionales y para hallar el punto de la eclíptica que sale, así como el que está en el meridiano, etc. Recordemos que el horóscopo, de importancia enorme en astrología, era precisamente el grado de la eclíptica que salía en un momento dado.⁴⁹

Muñoz expone todas estas cuestiones, desde las distinciones y reglas de la tradición de los tratadistas griegos de la esfera, Autolico, Euclides, etc., hasta los procedimientos trigonométricos para calcular ascensiones expuestos por Regiomontano en su Epitome del Almagesto y por Erasmus Reinhold en su Liber Tabularum directionum.⁵⁰ Todo ello siguiendo muy de cerca la exposición de Finé. También incluye una tabla de ascensiones rectas de los signos de la eclíptica de 5º en 5º extraída de la de Ptolomeo. Al ocuparse de los días naturales, Muñoz define la ecuación de los días (o ecuación del tiempo), indispensable para los cálculos astronómicos.⁵¹ A propósito de estos temas, menciona las Tablas pruténicas de Reinhold.⁵²

La última parte de este libro está dedicada a revisar la antigua doctrina que dividía la Tierra en cinco zonas, delimitadas por el ecuador, los trópicos y los círculos polares.⁵³ Las zonas comprendidas entre los trópicos se consideraban inhabitables por parte de Aristóteles, así como las delimitadas por los círculos polares y el polo. Las dos restantes, entre los trópicos y los círculos polares se consideraban templadas y habitables. No obstante, debe señalarse que diversos autores de la Antigüedad, como Eratóstenes, Polibio y Posidonio, afirmaron que las regiones del ecuador podrían ser habitables, ya que debían de ser más templadas que las situadas en los trópicos. Posidonio dio dos razones para ello: la primera, que el desplazamiento del Sol en la eclíptica es rápido en el momento del equinoccio, cuando está en el cenit del ecuador, y lento en el de los solsticios, cuando está en el cenit para los que habitan los trópicos; y el movimiento cotidiano del Sol es más rápido cuando el Sol recorre el ecuador celeste que cuando describe el trópico.⁵⁴ No obstante, la doctrina de la inhabitabilidad de las zonas polares y la comprendida entre los trópicos mantuvo su vigencia hasta el Renacimiento y los grandes descubrimientos geográficos y figuraba expuesta en el manual de Sacrobosco. Muñoz critica la teoría de la inhabitabilidad de la zona entre los trópicos señalando que las exploraciones del Nuevo Mundo han puesto de manifiesto que «la vida resulta adecuada en todas las partes del orbe» (39v). Muñoz trata de explicar por qué en la zona del ecuador el calor no impide la vida y busca fenómenos que compensen ese supuesto calor tórrido: además de argumentos astronómicos, como la rápida variación de la declinación solar, similares a los de Posidonio, usa otros astrológicos, señalando que las causas del frío y de la humedad hay que buscarlas también en la Luna y los planetas. A ello añade la importancia de la orografía de esas regiones, de modo que en el Perú o México se encuentran montes cubiertos de nieve todo el año. En cuanto a la habitabilidad de las zonas polares, Muñoz observa que aunque allí los rayos del Sol son débiles, sin embargo esto se compensa en parte porque tienen días solares muy largos.⁵⁵ Además, aporta el testimonio de Olaus Magnus y su difundida obra De habitantibus septentrionalibus (43r).⁵⁶

El Libro IV está dedicado a la altura y acimut de los astros, su determinación y sus aplicaciones para establecer las latitudes y paralelos geográficos, así como las horas del día (43v y ss.). Para evaluar la altura de los astros propone el uso de un cuadrante.⁵⁷ Seguidamente subraya la importancia histórica del gnomon, explica los conceptos de «umbra recta» y «umbra versa» y proporciona una tabla de sombras según la altura del Sol, estimada con un gnomon dividido en 60 partes (46r). Dice que la utilidad de esta tabla consiste en que, además de poder calcular la altura del Sol sin instrumentos, también puede estimar la altura de una torre por la cantidad de las sombras; asimismo, sirve para todo lo relativo a los relojes solares.

Tras algunas indicaciones sobre los relojes solares y sobre la división de la Tierra en paralelos efectuada por Ptolomeo (42 paralelos), Oronce Finé (68), Juan de Rojas (70) y Erasmus Reinhold (96), Muñoz expone el modo de determinar la latitud geográfica. Comienza señalando que los navegantes determinaban la latitud sin otro recurso que la ballestilla, a la que denomina radio (astronómico) rudimentario, en el que la transversal no podía moverse lateralmente, y remite para su descripción a la Cosmografía de Pedro Apiano (50 r-v). Añade que con este instrumento medían la altura de la estrella polar cuando la estrella horologial (b Ursa Minoris, llamada guarda delantera o Cochab) se encontraba en el noroeste, pues entonces la altura de dicha estrella era la misma que la del polo del mundo.⁵⁸ Después dice que los navegantes comenzaron a determinar la latitud a partir de la altura del Sol, y en una nota al margen, Muñoz indica que es mejor usar un cuadrante para determinar dicha altura. Después enuncia cinco reglas para calcular la latitud a partir de la altura del Sol similares a las que figuraban en los regimientos o tratados de arte de navegar.⁵⁹ También explica el modo de hallar la latitud a partir de la observación de la altura de las estrellas.

Figura 5.1 El uso del «radio astronómico» o ballestilla, según Pedro Apiano (Cosmographia, 1548, Biblioteca Histórica de la Universitat de València)

Figura 5.2

Radio astronómico o ballestilla diseñada por Gemma Frisius y construirda por G.Arsenius (1563; Museo Nacional de Ciencia y Tecnología)

Mucho más difícil resultaba hallar la longitud, como lo muestran –dice Muñoz– las discrepancias entre los cosmógrafos acerca de la posición de las islas Molucas.⁶⁰ En relación con ello, Muñoz describe en primer lugar la determinación de esta coordenada a partir de los eclipses de Luna, procedimiento que, en su opinión, era dificilísimo de realizar debido a la latitud y a la paralaje de la Luna. A continuación comenta el propuesto por Gemma Frisius, a quien llama «institutor noster» (52v), basado en el transporte horario, del que afirma que es no menos incierto que el anterior debido a la inconstancia de los relojes.⁶¹ Aunque Muñoz reconoce que, en teoría, los procedimientos basados en el movimiento de la Luna o de otro astro son excelentes, añade que son difíciles de llevar a la práctica. Por ello propone, para distancias cortas, el procedimiento basado en la determinación de la longitud a partir del conocimiento de la diferencia de latitud entre dos lugares, la distancia entre ellos y el ángulo de posición, es decir, el ángulo que forma la línea que une los lugares con el meridiano, tal y como lo explica Gemma Frisius en el trabajo sobre la «descripción de los lugares», en el apéndice a su tratado sobre el cuadrante náutico y en el astrolabio católico.⁶² Mejor aún lo describe, en opinión de Muñoz, Oronce Finé, «que me instruyó en las disciplinas matemáticas», en su libro sobre el «planispherio geográphico».⁶³ Junto a sus maestros Gemma Frisius y Oronce Finé y en relación con la determinación de las longitudes, Muñoz cita también a Apiano, cuyas técnicas considera óptimas, aunque demasiado difíciles para los principiantes.⁶⁴

En el Libro V se ocupa de la relación entre la latitud y la longitud geográfica (55r y ss.). Explica que los arcos de latitud a lo largo de los meridianos son siempre iguales, mientras que los de longitud van disminuyendo a medida que nos acercamos al polo. Como es sabido, la relación viene dada por el coseno de la latitud. Muñoz explica cómo determinar la cantidad de cualquier grado de longitud para una latitud dada con el recurso de un cuadrante graduado, como el incluido por Finé en su De universali quadrante, o bien mediante tablas.⁶⁵ A continuación expone la relación entre la diferencia de longitud, la diferencia de latitud, el ángulo de posición y la distancia entre dos lugares, tomando como ejemplo Valencia y Játiva.⁶⁶ Explica también cómo convertir «vientos» o ángulos en leguas, para lo que proporciona un diagrama (61r). En los capítulos 5 y 6, trata de los vientos según los autores clásicos: Aristóteles, Aulo Gelio, Vitruvio y los «geógrafos e hidrógrafos» recientes, e incluye las denominaciones de los vientos en catalán. En el capítulo 7 trata del uso del cuadrado náutico de Gemma Frisius, a saber, dadas las coordenadas geográficas de dos lugares, determinar el rumbo que seguir para ir de uno al otro. Dicho rumbo viene determinado, obviamente, por el ángulo de posición. Muñoz aclara que este cuadrante presupone que las líneas meridianas son paralelas, lo que conduce a errores en las cartas náuticas a medida que nos acercamos al polo Norte. Por ello debe añadirse una corrección dependiente de la convergencia de los meridianos. No obstante, para regiones pequeñas, el procedimiento no conduce a errores de importancia.

Figura 6 Cuadrado Náutico de Gemma Frisius según Muñoz (Astrologicarum et Geographicarum institutionum libri sex, copia de Francisco Juan Rubio Bayerische Staatsbibliothek, Munich)

Muñoz insiste en que no hay que dar crédito a los valores de las coordenadas geográficas que aportan los diversos autores a menos que haya constancia de que las han obtenido por ellos mismos con procedimientos adecuados. En relación con ello, pone el ejemplo de Ptolomeo, «príncipe de todos los geógrafos y matemáticos», que describió pésimamente Germania y España, cometiendo grandes errores en otros lugares, como la Galia (68v). Oronce Finé, según Muñoz, también cometió errores en la descripción de Francia por negligencia y por fiarse de las descripciones de otros autores (69r).⁶⁷ Los hidrógrafos, en opinión de Muñoz, han proporcionado descripciones más fiables; pero también estas contienen muchos errores, debido a que no tienen en cuenta la convergencia de los meridianos, y también al uso de la brújula, que no apunta directamente al meridiano geográfico. Errores reflejados en las cartas náuticas.

En el capítulo 9 Muñoz se ocupa de «la descripción de los lugares por medio de los ángulos de posiciones». Aquí expone el procedimiento de triangulación descrito por su maestro Gemma Frisius, al que llama método de «describir los lugares mediante los ángulos de posición» (70v). Para ello se vale del ejemplo de una triangulación efectuada entre la ciudad de Valencia, tomando como vértice la torre del Miguelete, y diversos lugares de las comarcas próximas: la Ermita de la Concepción, Moncada, el Puig, Puzol, Alboraya y el Grao. Dicha triangulación consistía básicamente en la determinación, desde un punto de partida, de las direcciones (ángulos con el meridiano del lugar o de posición) de diversos puntos visibles o estaciones y en la repetición de dichas observaciones y estimación de los ángulos desde estas estaciones, dirigiendo la visual a la primera y a las otras; todo ello permitía trazar en un papel una red de triángulos mediante la intersección de las líneas correspondientes a las visuales de las estaciones. Midiendo la longitud de una distancia o línea base, se podía conocer todas las otras distancias, así como las coordenadas geográficas de los lugares, y trazar el mapa de la región. Para determinar los ángulos, Muñoz propone, siguiendo también a Gemma Frisius y a Oronce Finé, el uso de un instrumento circular de un palmo (c. 21 cm), de latón o madera, semejante al anverso de un astrolabio, provisto de una alidada y un compás náutico.⁶⁸ El limbo del instrumento debería graduarse en una escala en cuatro cuartos; dentro del citado limbo vendría grabado o dibujado un cuadrado náutico; el instrumento llevaría también un reloj de Sol entre el lado del cuadrado náutico y el punto sur, así como una alidada. Por último, el instrumento se colocaría horizontalmente, sustentado en un pie «de tanta altitud cuanta sea la altura de tu cuerpo hasta los ojos». Después, al describir las observaciones, Muñoz indica que para establecer la línea meridiana puede utilizarse una brújula, aunque luego previene sobre este modo de proceder.

Muñoz da las cifras de todos los ángulos de posición, que son cifras reales, como comentaremos después, aunque no da la medida de la distancia base.⁶⁹

Muñoz advierte que en este tipo de medidas pueden producirse muchos errores, por lo que hay que procurar que «todas las localizaciones posteriores se correspondan con la verdadera línea de posición de la primera determinación». Para evitar acumular errores, Muñoz afirma que en lugar de determinar en cada vértice la línea meridiana se orientara la línea N-S del instrumento, dirigiéndola desde ese vértice hacia el vértice inicial. Añade que las visuales deben dirigirse hacia las mismas partes de los edificios o lugares tomados como vértices (o hacia los centros, si ello no es posible) y que los ángulos tengan una magnitud apreciable. A continuación, deberán calcularse las latitudes de los lugares y se tendrá en cuenta en la determinación de las longitudes la convergencia de los meridianos. Muñoz concluye diciendo que estas son las reglas que deben seguirse y cuya importancia él mismo ha comprobado por su uso frecuente: «si no se observan como edificios sagrados no se podrá tener una perfecta descripción de ninguna región».

En el capítulo 10 de este libro enseña a determinar las distancias entre dos lugares si se conocen las diferencias de longitud y latitud entre los mismos. Muñoz lo expone primero aproximando los arcos por línea rectas y aplicando la trigonometría plana, y en una nota propone una fórmula de trigonometría esférica, que es errónea.⁷⁰

Figura 7

Globo terráqueo construido por Willem Janszoon y Joan Blaeu (1645-1648; Biblioteca Histórica de la Universitat de València)

En el capítulo 11 se refiere a la división de la tierra y sus habitantes según las sombras que proyecta el gnomon: anfiscios (dos sombras: norte o sur, según la estación), heteroscios (sombras al mediodía siempre hacia un mismo lado) y periscios (sombras en todas direcciones), y en el capítulo 12, según las latitudes: periecos, antecos y antípodas. Sobre los antípodas, comenta que Lactancio negó su existencia con razones pueriles; San Agustín, a pesar de que reconoció que la tierra era redonda, también negó la existencia de antípodas. Plinio y Estrabón, que vivieron en tiempos del emperador Augusto, afirmaron, en cambio, la existencia de habitantes en aquella parte de la tierra correspondiente al otro extremo del diámetro. Muñoz señala que las exploraciones geográficas han dejado fuera de duda la existencia de antípodas, lo cual no contradice las Escrituras ni implica que el mundo sea eterno, ya que la existencia de estos habitantes puede explicarse por emigración a aquellos lugares de los primeros hombres creados por Dios (77r y ss.).⁷¹

El libro sexto está dedicado íntegramente a cuestiones de geografía y cartografía (78v y ss.). Comienza con un capítulo sobre las medidas de longitud. Seguidamente, en capítulos sucesivos, Muñoz explica paso a paso como construir un globo terráqueo mediante el dibujo de usos esféricos, el trazado de paralelos y meridianos sobre él y la construcción de un globo celeste.

Para construir el globo terráqueo por medio de husos, Muñoz detalla el procedimiento geométrico de trazado de los husos. (Figuras 8 y 9). Primero expone el procedimiento sugerido por Glareanus:⁷² se toma una línea que se divide en 30 partes; las 12 centrales corresponderán a la longitud de los círculos máximos del globo. Los husos se trazan con una apertura del compás de 10 partes. Muñoz advierte de que la anchura de los husos, con este trazado, no se corresponde con la mitad de la circunferencia, es decir, con la longitud que abarcan 6 de las partes. En efecto, si construimos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa (el radio con el que se trazan los husos) mida 10 partes, es decir, (2π R /12) x 10, y el otro 10 partes menos la mitad de una parte (la anchura de los husos es de una parte), el otro cateto medirá: 2π R/12 √ (100 - 9,5²) = 3,12 y no 3.

Figura 8

Dibujo de los husos (primer método) para fabricar un globo terráqueo o celeste, según Muñoz (Astrologicarum et Geographicarum institutionum libri sex, copia de Francisco Peña, Biblioteca Apostólica Vaticana)