Manual de preparación PSU Matemática

El Manual de preparación PSU es una obra colectiva, creada y diseñada en alianza entre Ediciones UC y el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

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©2015 Pontificia Universidad Católica de Chile Alameda 390, Santiago, Chile / Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones Andrés Bello 2299 Piso 10, oficinas 1001 y 1002, Providencia, Santiago (Chile).

ISBN edición impresa: 978-956-15 2527-6 / ISBN edición digital: 978-956-14-2677-1 / Inscripción Nº 248.582

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PRESENTACIÓN GENERAL PROYECTO PSU

La colección de Manuales de preparación PSU elaborada por Editorial Santillana y Ediciones UC tiene como objetivo ser un apoyo eficiente y práctico para el postulante que prepara la Prueba de Selección Universitaria. Cada manual aborda los contenidos de los temarios correspondientes a la respectiva área (Lenguaje y Comunicación, Matemática, Ciencias e Historia, Geografía y Ciencias Sociales) y profundiza en la comprensión y aplicación de las habilidades exigidas por el Marco Curricular vigente.

Además de lo anterior, los manuales constituyen un aporte efectivo para quienes cursan Educación Media, ya que facilitan la adquisición de contenidos y el desarrollo de competencias y habilidades requeridas por el Currículum de estos niveles. Asimismo, es un material de apoyo y orientación para los docentes que necesitan sistematizar, reforzar y aplicar los contenidos abordados en la PSU.

Finalmente, se debe destacar que cada manual está alineado con el actual proceso de admisión, tanto en lo que respecta al temario como a la estructura de las secciones que componen la Prueba.

La Prueba de Selección Universitaria en la asignatura de Matemática está compuesta por 80 preguntas de opción múltiple organizadas por eje temático (%) y distribuidas según las habilidades de comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación.

El Manual de preparación PSU Matemática se ha creado con el objetivo de preparar al estudiante para rendir la PSU correspondiente a esta asignatura. Este material se ha distribuido en virtud de los ejes temáticos considerando los Objetivos Fundamentales (OF) y los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que propone el temario DEMRE para la asignatura de Matemática y que han sido definidos en el Marco Curricular.

El Cuaderno de ejercicios PSU se ha estructurado según los siguientes ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos y azar. Para cada eje se han propuesto preguntas resueltas y un grupo de test con 30 preguntas tipo PSU cada uno, lo que hace un total de aproximadamente 1.100 ejercicios. Al final del cuaderno el estudiante podrá encontrar un ensayo tipo PSU de 80 preguntas alineado con el temario DEMRE.

Ediciones UC fue creada en 1975 con el objetivo de prestar un servicio editorial de apoyo a la docencia, la investigación y la creación literaria realizada en la Pontificia Universidad Católica de Chile (PUC), y se ha consolidado como la principal editorial universitaria del país, con distribución en Chile y América Latina que evidencia la investigación de vanguardia y el trabajo de excelencia de los académicos de la PUC, así como de autores externos.

Su misión consiste en ser un actor relevante en el diálogo con la cultura y una ventana a la sociedad, brindando un espacio efectivo para la publicación de libros de la más alta calidad que amplíen y difundan las fronteras del conocimiento, todo de acuerdo a los principios que rigen a la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Editorial Santillana ha estado presente en nuestro país durante los últimos 46 años como líder en el acompañamiento a numerosas generaciones en su educación escolar.

El motor y principal foco de Santillana ha sido y sigue siendo apoyar la tríada enseñanza-aprendizaje-evaluación en todos los niveles de escolaridad y en las principales áreas curriculares. De esta forma asume el desafío constante de contribuir a la formación académica de los niños y adolescentes de Chile, con textos adecuados a sus niveles de comprensión, atractivos, desafiantes y rigurosos, y de ser un aporte relevante para los docentes por medio de la elaboración de guías didácticas y otros materiales de apoyo a su labor, especialmente diseñados según sus necesidades.

Editorial Santillana, siempre a la vanguardia en detectar y apoyar los requerimientos de una educación de calidad, ha ido incorporando distintas herramientas y soportes que amplían las posibilidades de interactuar con los contenidos, migrando desde el texto impreso al mundo digital, lo que se enmarca en la necesaria adecuación a las demandas que la sociedad del siglo XXI impone a los educandos. Asimismo, Santillana ha ido diversificando la oferta de proyectos y materiales complementarios para responder a distintos desafíos educativos, como en este caso la preparación para el ingreso a la Educación Superior.

ÍNDICE

Índice

Simbología Matemática

Estructura del Manual

Capítulo I • Números

1. Números enteros ()

1.1 El conjunto de los números enteros

1.2 Representación, comparación y orden en

1.3 Adición y sustracción en

1.4 Multiplicación y división en

2. Números racionales ()

2.1 El conjunto de los números racionales

2.2 Representación decimal de un número racional

2.3 Operatoria en

2.4 Operaciones con números decimales

3. Números reales ()

3.1 El conjunto de los números reales

3.2 Potencias y sus propiedades

3.3 Notación científica

3.4 Raíces

3.5 Operaciones con raíces

3.6 Racionalización

3.7 Aproximación en

3.8 Números irracionales en la recta numérica

3.9 Logaritmos

3.10 Propiedades de los logaritmos

4. Números complejos ()

4.1 Números imaginarios

4.2 Números complejos ()

4.3 Representación gráfica de números complejos

4.4 Adición en

4.5 Sustracción en

4.6 Multiplicación en

4.7 División en

4.8 Potencias de números complejos

4.9 Raíces cuadradas de números complejos

4.10 Números complejos en forma polar

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar

Capítulo II • Álgebra

1. Álgebra

1.1 Introducción al Álgebra

1.2 Operaciones básicas con expresiones algebraicas

1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas

1.4 Productos notables

1.5 Factorización de expresiones algebraicas

2. Expresiones algebraicas fraccionarias

2.1 Expresión algebraica fraccionaria

2.2 Análisis de expresiones algebraicas fraccionarias

2.3 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

2.4 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

2.5 División de expresiones algebraicas fraccionarias

2.6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias

2.7 Operaciones combinadas de expresiones algebraicas

3. Ecuaciones e inecuaciones lineales

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

3.2 Ecuaciones literales

3.3 Ecuaciones racionales

3.4 Ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.5 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.6 Representación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.7 Análisis de la existencia de la solución de un sistema de ecuaciones lineales

3.8 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.9 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.10 Desigualdades

3.11 Intervalos en

3.12 Inecuaciones de primer grado con una incógnita

3.13 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

4. Ecuaciones cuadráticas

4.1 Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

4.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

4.3 Soluciones de una ecuación de segundo grado con una incógnita

4.4 Fórmula general de una ecuación de segundo grado con una incógnita

4.5 Soluciones complejas de una ecuación cuadrática

5. Funciones

5.1 Concepto de función

5.2 Análisis del gráfico de una función y = f(x)

5.3 Función lineal

5.4 Función afín

5.5 Función cuadrática

5.6 Análisis del gráfico de la función cuadrática

5.7 Resolución de problemas con funciones cuadráticas

5.8 Función raíz cuadrada

5.9 Función exponencial

5.10 Función logarítmica

5.11 Función potencia

5.12 Composición de funciones

5.13 Función inyectiva

5.14 Función sobreyectiva y biyectiva

5.15 Función inversa

Capítulo III • Geometría

1. Plano y espacio cartesiano

1.1 Coordenadas cartesianas

1.2 Polígonos en el plano cartesiano

1.3 Distancia entre dos puntos

2. Vectores

2.1 Vectores en el plano y en el espacio

2.2 Magnitud de un vector

2.3 Operatoria vectorial en el plano y en el espacio

3. Transformaciones isométricas

3.1 Traslación

3.2 Rotación

3.3 Reflexión

3.4 Composición de transformaciones isométricas

4. Ángulos en la circunferencia

4.1 Elementos de una circunferencia

4.2 Medida angular de arcos de circunferencia

4.3 Teorema del ángulo inscrito

4.4 Teorema del ángulo semiinscrito

4.5 Teorema del ángulo interior

4.6 Teorema del ángulo exterior

5. Rectas y planos

5.1 Pendiente de una recta

5.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

5.3 Ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto de ella

5.4 Ecuación principal de la recta

5.5 Ecuación general de la recta

5.6 Posiciones relativas de dos rectas en el plano

5.7 Análisis gráfico de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

5.8 Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el plano y en el espacio

5.9 Ecuación vectorial y paramétrica del plano en el espacio

5.10 Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

6. Cuerpos geométricos

6.1 Cuerpos generados por rotación y traslación

6.2 Prismas

6.3 Área y volumen de un prisma

6.4 Pirámides

6.5 Área y volumen de una pirámide

6.6 Cilindro

6.7 Área y volumen de un cilindro

6.8 Cono

6.9 Área y volumen de un cono

6.10 Esfera

6.11 Área y volumen de una esfera

7. Congruencia y semejanza de figuras planas

7.1 Congruencia de figuras planas

7.2 Criterios de congruencia de triángulos

7.3 Semejanza de figuras planas

7.4 Criterios de semejanza de triángulos

7.5 Homotecia

8. Teoremas

8.1 Teorema de Thales

8.2 Teorema particular de Thales

8.3 División interior de un segmento

8.4 División exterior de un segmento

8.5 Teorema de Euclides

8.6 Teorema de Pitágoras

8.7 Recíproco del teorema de Pitágoras

9. Relaciones entre trazos en una circunferencia

9.1 Teorema de las cuerdas

9.2 Teorema de las secantes

9.3 Teorema de la secante y la tangente

Capítulo IV • Estadística y probabilidad

1. Estadística

1.1 Población y muestra

1.2 Tablas de frecuencias

1.3 Tablas de frecuencias para datos agrupados

1.4 Representaciones gráficas

1.5 Medidas de tendencia central para datos no agrupados

1.6 Medidas de tendencia central para datos agrupados

1.7 Medidas de posición para datos no agrupados

1.8 Medidas de posición para datos agrupados y diagrama de cajón

1.9 Medidas de dispersión

1.10 Comparación de muestras

2. Probabilidad

2.1 Conceptos básicos

2.2 Probabilidad

2.3 Cálculo de probabilidad: técnicas de conteo I

2.4 Cálculo de probabilidad: técnicas de conteo II

2.5 Propiedades de la probabilidad

2.6 Probabilidad condicional e independencia

2.7 Variables aleatorias

2.8 Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta

2.9 Distribución binomial

2.10 Función de probabilidad de una variable aleatoria continua

2.11 Distribución normal

2.12 Distribución de las medias muestrales

2.13 Intervalos de confianza

Anexos

1. Razones y proporciones

2. Proporcionalidad

3. Porcentajes

4. Trigonometría

5. Tabla de distribución normal estándar (N(0, 1))

Solucionario

Capítulo I: Números

Capítulo II: Álgebra

Capítulo III: Geometría

Capítulo IV: Estadística y probabilidad

Anexos

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA

Estructura del Manual

El manual de preparación Matemática PSU está estructurado en 4 capítulos:

• Números

• Álgebra

• Geometría

• Estadística y probabilidad

Cada uno de los cuales se encuentra en directa concordancia con el temario del DEMRE.

Al iniciar cada capítulo se presentan los temas que se estudiarán en ellos.

El manual tiene también una sección de Anexos, la que incorpora los contenidos de:

• Razones y proporciones

• Proporcionalidad

• Porcentajes

• Trigonometría

• Tabla de distribución normal

En cada capítulo se explican diferentes temas en donde se presentan la formalización del concepto tratado, Actividades resueltas para ejemplificar cada contenido y Actividades para ejercitar lo estudiado.

Además, el Manual PSU cuenta con un Cuaderno de ejercicios estructurado según los siguientes ejes: Números, Álgebra, Geometría y Estadística y probabilidad. Al comenzar la ejercitación de cada eje encontrarás un grupo de reactivos resueltos para enfrentar de mejor manera cada uno de los Tests que se proponen, y al finalizar el Cuaderno de ejercicios podrás ejercitar con un ensayo tipo PSU alineado al temario DEMRE.

Capítulo I

Números

Temas

1. Números enteros ()

2. Números racionales ()

3. Números reales ()

4. Números complejos ()

1. Números enteros ()

1.1 El conjunto de los números enteros

Definición

El conjunto numérico de los números naturales se define como = {1, 2, 3, 4, …}. Se denota por ₀ cuando se agrega el 0 al conjunto, esto es, .

Para representar algunas situaciones o problemas de la vida diaria, los números naturales no son suficientes. Por ejemplo:

• Representar un sobregiro de $ 200.000 en una cuenta corriente.

• Determinar la temperatura de una ciudad si en un instante es de 5 °C y una hora después baja 7 °C.

• Determinar un número que sumado con 4 resulte 1, o sea, resolver la ecuación x + 4 = 1.

Para representar estas situaciones o resolver este tipo de problemas es necesario conocer otro conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros se simboliza por y se puede representar por:

⁺ corresponde al conjunto de los números enteros positivos: ⁺ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

^– corresponde al conjunto de los números enteros negativos: ^– = {... , –4, –3, –2, –1}

Actividad resuelta

Escribe un número entero que represente la información numérica de cada situación.

a) En la Antártica se registró una temperatura de 20 °C bajo cero.

Las temperaturas bajo cero se pueden representar con números enteros negativos. Así, la temperatura descrita correspondería a –20, es decir, –20 °C.

b) Las ganancias de una empresa en un día fueron $ 700.000.

Las ganancias se pueden representar con números enteros positivos. Así, las ganancias de la empresa corresponderían al número 700.000.

Divisores y múltiplos, números pares e impares

Si a, b, c ∈ – {0} cumplen la relación c = a • b, entonces a y b son divisores de c, y c es múltiplo de a y de b.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es múltiplo de cada uno de los números dados.

El máximo común divisor (m.c.d.) de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que divide a cada uno de los números del conjunto.

Un número entero es par si es múltiplo de 2.

n es par ⇔ n = 2p, con p ∈ .

Un número entero es impar si es antecesor o sucesor de un número par.

n es impar ⇔ n = 2p – 1 o n = 2p + 1, con p ∈.

Actividades resueltas

1. ¿–20 es múltiplo de 10? Sí, porque –20 = (–2) • 10.

2. ¿2 es divisor de –20? Sí, porque –20 = 2 • (–10).

3. Determina el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes números enteros.

a) m.c.m.(–2, 6) = 6 m.c.d.(–2, 6) = 2

b) m.c.m.(–4, 4, 8) = 8 m.c.d.(–4, 4, 8) = 4

c) m.c.m.(–3, 5, 7) = 105 m.c.d.(–3, 5, 7) = 1

Actividades

1. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿En qué situaciones se pueden usar números enteros?

b) ¿Cómo se distinguen los números enteros positivos de los números enteros negativos?

2. Escribe ∈ o ∉ según corresponda.

3. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tu respuesta.

a) La sustracción es una operación que siempre tiene solución en el conjunto de los números naturales.

b) Los números enteros están conformados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos.

c) Algunos números naturales no son números enteros.

d) Todos los números enteros son positivos o negativos.

4. Representa la información numérica de cada situación con un número entero.

a) El avión vuela a 2.700 m de altura.

b) Un submarino se encuentra a 2.500 m bajo el nivel del mar.

c) La rueda se inventó aproximadamente en el año 5500 a. C.

d) Daniela tiene una deuda de $ 2.300 en el almacén.

e) El fondo del mar Caribe alcanza aproximadamente los 3.000 m de profundidad.

f) Alejandro Magno nació en el año 356 a. C. en Macedonia.

g) El récord mundial de inmersión libre masculino (buceo sin equipo) es de 120 m de profundidad.

5. Lee, observa y resuelve.

Para generar energía eléctrica a partir de yacimientos geotérmicos se deben perforar profundos pozos que conduzcan, hacia la superficie terrestre, el fluido almacenado a altas temperaturas en la corteza de la Tierra. Ya en la superficie, el vapor, que viene a alta presión, se utiliza para hacer funcionar una turbina y así producir energía eléctrica.

a) ¿Qué medidas de la ilustración anterior pueden ser representadas mediante números enteros?

b) ¿Cuáles corresponden a números positivos?, ¿cuáles a números negativos?

6. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa.

a) El m.c.m.(4, 10) es un número par.

b) El m.c.d.(8, 12) es un número impar.

c) El m.c.m.(5, 15, 25) es igual que el m.c.m.(1, 2, 5).

d) El m.c.d.(12, 15, 21) es distinto al m.c.d.(9, 3, 6).

1.2 Representación, comparación y orden en

Representación en la recta numérica

Los números enteros se pueden representar en la recta numérica de la siguiente manera:

En un punto sobre la recta se ubica el número 0.

Se hacen marcas a la izquierda y a la derecha del cero, de tal forma que el espacio entre dos marcas consecutivas sea siempre el mismo.

Se asocia cada marca con un número entero. Para ello se ubican los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda.

Es importante considerar que a cada número le corresponde un único punto y que la distancia entre dos números enteros consecutivos siempre es la misma.

Actividad resuelta

Representa en una recta numérica los números enteros –6 y 3.

1° Se traza la recta y se ubica el cero.

2° Se dibujan marcas considerando que la distancia entre dos marcas consecutivas debe ser la misma.

3° Se ubica el número –6 a 6 unidades a la izquierda del cero y el número 3 a 3 unidades a la derecha del cero.

Orden y comparación en

Dados dos números enteros a y b, entre ellos se puede presentar una y solo una de las siguientes relaciones de orden:

• a < b. En la recta numérica, a está a la izquierda de b.

• a > b. En la recta numérica, a está a la derecha de b.

• a = b. En la recta numérica, a y b se encuentran ubicados en el mismo punto.

En la recta numérica, será mayor aquel número entero que se ubique más a la derecha.

Actividad resuelta

Ubica cada par de números en una recta numérica y establece la relación de orden entre ellos.

a) –7 y –2.

Como –7 está a la izquierda de –2, entonces –7 es menor que –2, es decir, –7 < –2.

b) –5 y 4.

Como 4 está a la derecha de –5, entonces 4 es mayor que –5, es decir, 4 > –5.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número a representa la distancia de este número al cero en la recta numérica. Se simboliza |a| y se lee ''valor absoluto de a''.

Para comparar dos números negativos se pueden analizar sus valores absolutos. De esta manera, un número negativo es menor que otro si su valor absoluto es mayor, es decir, si se ubica más a la izquierda en la recta numérica.

Actividad resuelta

Escribe <, >, o = según corresponda.

a) –13__________–8 Como |–13| = 13 > |–8| = 8, entonces en la recta numé-rica –13 está a la izquierda de –8. Por lo tanto, es menor, o sea, –13 < –8.

b) |–15|_______–|15| Primero, se determinan los valores absolutos. |–15| = 15 y |15| = 15. Por lo que se cumple que –|15| = –15. Finalmente, se tiene |–15| > –|15| porque todo número positivo es mayor que uno negativo.

Actividades

1. Responde las siguientes preguntas.

a) Si a, b ∈ , de tal forma que a se ubica a la izquierda del 0 en la recta numérica y b a la derecha, ¿cuál es mayor?

b) ¿Qué número tiene como valor absoluto 10 y en la recta numérica se ubica a la izquierda de 0?

c) ¿Cuándo el valor absoluto de un número es mayor que el número?

d) Si a, b, c ∈, de tal forma que en la recta numérica a está a la izquierda de b y c está a la izquierda de a, ¿cuál es el número mayor?

2. Escribe en cada recta numérica el número entero asociado a cada letra.

3. Observa y completa. Luego, responde.

a) ¿Cuál es el antecesor de –1?

b) ¿Cuál es el número entero cuyo sucesor es –2?

4. Responde. Justifica tu respuesta en cada caso.

a) ¿Cuántos números enteros están localizados entre –14 y 3? ¿Cuáles son estos números?

b) Entre los números –7, 8, 3, –10, 6, 4 y –2, ¿cuál es el más alejado de cero en la recta numérica? ¿Cuál está más cerca de cero en la recta numérica?

c) ¿Cuántos números enteros hay entre 21.000 y 1.000?

5. Representa cada conjunto de números enteros en la recta numérica.

a) A = {–5, 4, –3, 0, 7}

b) B = {–2, 6, 3, –1, –4}

c) C = {1, –7, 5, 4, –6, –3, –9, 7}

d) D = {–8, 5, –6, –4, 2, 1, 8, –9, –3, –1}

6. Escribe >, <, o = según corresponda.

a) –|8|________|–8|

b) –15_______–18

c) –|8|______–|–8|

d) –15_______18

e) –(–10)________|–10|

f) –(–12)________–12

1.3 Adición y sustracción en

Representación gráfica de la adición de números enteros

La adición de números enteros se puede representar en la recta numérica. Para ello, se ubica uno de los sumandos y se marca con un punto (•), luego se avanza a la derecha o a la izquierda tantas unidades como indique el otro sumando, según sea positivo (+) o negativo (–), respectivamente.

Actividades resueltas

1. Representa la adición (–2) + (–3) en la recta numérica.

Se ubica el –2 en la recta numérica.

Se avanza tres unidades a la izquierda del –2.

Finalmente, se tiene que (–2) + (–3) = –5.

2. Representa la adición (–5) + 6 en la recta numérica.

Se ubica el –5 en la recta numérica.

Se avanza seis unidades a la derecha del –5.

Finalmente, se tiene que (–5) + 6 = 1.

Adición en

Para resolver una adición de números enteros, sin usar una recta numérica, se deben tener en cuenta los siguientes casos:

Actividades resueltas