NW / NTG Formelsammlung für Industriemeister

4. Lösung:

Auf einen Stein in Erdnähe wirkt eine Beschleunigung von g=9,81m/s². Diese sogenannte Erdbeschleunigung wurde schon oft sehr gründlich gemessen und ist daher allgemein bekannt. Sie steht beispielsweise auch in jeder anderen Formelsammlung (normalerweise aber ohne weitere Erläuterung). Übrigens wirkt diese Beschleunigung auf jeden Körper in Erdnähe – unabhängig von der Masse des Körpers! Das bedeutet, dass auf eine Feder die gleiche Beschleunigung wirkt, wie auf einen Stein. Wenn aber die gleiche Beschleunigung auf einen Stein wie auf eine Feder wirkt, warum fällt dann die Feder normalerweise langsamer als der Stein? Die Antwort: Nur der Luftwiderstand der Feder ist ein anderer als der des Steines, der Luftwiderstand der Feder ist größer als der des Steines. Im Vakuum, wo es ja keinen Luftwiderstand gibt, weil keine Luft da ist, fällt eine Feder genau so schnell wie ein Stein! Man sieht das auch an folgender Rechnung:

Dabei haben wir F=mg eingesetzt, weil das ja die Formel für die Gewichtskraft in Erdnähe ist, also für die Erdanziehungskraft. Diese Erdanziehungskraft bewirkt die Erdbeschleunigung. Die Masse kürzt sich hier heraus und hat deswegen keinen Einfluss auf die Beschleunigung. Die Beschleunigung durch die Gravitation in Erdnähe ist immer und für jeden Körper g=9,81m/s².

Als Nächstes schaut man sich den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und zurückgelegtem Weg eines Körpers an. Diesen nennt man Newtonsches Ort-Zeit-Gesetz und er lautet:

Die Beschleunigung a ist in diesem Fall ja die Erdbeschleunigung g=9,81m/s², die Zeit t ist bekannt (3 Sekunden) und den zurückgelegten Weg x suchen wir. Also setzen wir ein:

Zwischen Oberseite des Brunnens und Wasseroberfläche liegen also in etwa 44m.

Bemerkung: umgekehrt könnte man natürlich auch die Zeit berechnen, die der Stein für den Fall benötigt, wenn irgendeine beliebige Tiefe des Brunnens gegeben ist. Sagen wir der Brunnen hat eine Tiefe von 10 Metern. Um die nötige Zeit zu berechnen, lösen wir das Newtonsche Orts-Zeit-Gesetz nach der Zeit auf und setzen die bekannten Werte x=10m und a=9,81m/s² ein:

Um 10 Meter Fallhöhe zu überwinden benötigt der Stein also nur etwa 1,41 Sekunden.

5. Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung - Beispielaufgabe II:

Ein Auto mit einer Masse von einer Tonne wird mit einer Kraft von 5 Kilo-Newton bei einem Wirkungsgrad von 30% beschleunigt. Wie schnell fährt es nach 3 Sekunden Beschleunigungszeit?

6. Lösung:

Der Wirkungsgrad gibt an, wie viel von einer zugeführten Leistung tatsächlich dort ankommt, wo sie gebraucht wird, also in Nutzleistung verwandelt wird. Für eine ausführliche Erklärung schau im letzten Kapitel unter Wirkungsgrad (Seite 54) nach. Er gilt jedenfalls unter Umständen auch für die aufgewendeten Energien und Kräfte, nicht nur für die Leistungen:

Dabei haben wir die Zeit t und den zurückgelegten Weg x gekürzt, was nur geht, wenn diese exakt gleich sind. Das ist – je nach Betrachtung – nicht immer der Fall, aber man kann vereinfachend mal davon ausgehen, dass sie gleich sind. Obige Rechnung braucht dich nicht zu beunruhigen! So etwas wird in der Prüfung nicht verlangt!

Letztlich brauchst du nur Folgendes:

Bei 30% Wirkungsgrad kommen von den 5000 Newton eben nur 1500 Newton wirklich auf die Straße. Aus einer Kraft kann man immer eine Beschleunigung errechnen, aus einer Beschleunigung dann eine Geschwindigkeit. Die Formeln dafür lauten:

Die Formel (2) ist übrigens das sogenannte Newtonsche Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz. Einsetzen in beide Formeln ergibt Folgendes:

Das Auto fährt also nach 3 Sekunden beschleunigter Bewegung mit einer Geschwindigkeit von 16,2km/h. Bemerkung: in diesem Fall ist die Beschleunigung im Gegensatz zur Beispielaufgabe I NICHT unabhängig von der Masse. Ein schwereres Auto wird bei konstanter Kraft langsamer beschleunigt als ein leichteres. Dass die Erdbeschleunigung unabhängig von der Masse ist, liegt daran, dass die Erdanziehungskraft von der Masse abhängig ist und sich die Masse daher heraus kürzt (siehe Beispielaufgabe I, Seite 9).

Aufgabentyp 2: Anheben von Objekten

Erläuterung: hebt man ein Objekt an, so verrichtet man – physikalisch gesehen – Hubarbeit an diesem Objekt. Das bedeutet, man erhöht die potentielle Energie des Objektes. (Verrichtet man Beschleunigungsarbeit, so erhöht man die kinetische Energie. Verrichtet man Heizarbeit, so erhöht man die thermische Energie usw…). Der Energiebegriff hat viele verschiedene Anwendungen, zum Beispiel erhält man aus der aufgewendeten Arbeit auch die dafür nötige Leistung.

1. Formeln:

Beispielaufgabe I:

Mithilfe eines elektrischen Werkstattkranes wird ein KFZ-Motor gehoben. Der Kran hebt dabei die Masse des Motors von 125kg innerhalb von 0,3 Minuten auf eine Höhe von 5,5 Meter gleichmäßig an. Die mechanischen und elektrischen Verluste des Kranes betragen 12%.

Berechne die Stromaufnahme des Drei-Phasen-Drehstrommotors.

Dabei gilt:

und

3. Lösung:

Um den Motor auf die Höhe von 5,5 Meter zu heben, muss folgende Arbeit verrichtet werden:

Verrichtet man also diese Hubarbeit an dem Motor, so erhöht sich also die potentielle Energie des Motors von 0 Joule auf 6744 Joule. Da dies in 0,3 Minuten (das sind 18 Sekunden, denn 0,3 mal 60 ergibt 18) geschieht, wird dabei folgende Leistung aufgebracht:

Die Nutzleistung beträgt also ungefähr 375 Watt. Um diese Nutzleistung dem Motor zuzuführen, muss ja insgesamt eine höhere Leistung zur Verfügung gestellt werden, um die Reibungsverluste auszugleichen. Das berücksichtigt man über den Wirkungsgrad. Die Verluste betragen hier 12% von der eingehenden Leistung, das heißt, der Wirkungsgrad beträgt:

Die notwendige Eingangsleistung kann man daher folgendermaßen berechnen:

Um diese Eingangsleistung zur Verfügung zu stellen, muss ein Drehstrommotor folgende Stromaufnahme besitzen:

Der Motor muss also eine Stromaufnahme von etwa 690 Milliampere besitzen.

4. Anheben von Objekten - Beispielaufgabe II:

Eine Masse von 800kg wird mit einem Zugseil innerhalb von 16 Sekunden mit gleichmäßiger Geschwindigkeit um 9,6 Meter gehoben. Das Seil wird von einer Trommel aufgenommen, die einen Durchmesser von 80cm hat.

a) Berechnen Sie die notwendige Drehzahl der Seiltrommel.

b) Berechnen Sie die zugeführte Antriebsleistung bei einem Gesamtwirkungsgrad der Anlage von 72%.

5. Lösung:

a) Wenn sich die Trommel einmal dreht, dann nimmt sie eine Seillänge auf, die genau dem Umfang der Trommel entspricht. Die Formel für den Umfang lautet:

Wir wissen, dass der Radius 40cm betragen muss, weil der Durchmesser 80cm beträgt. Als nächstes stellt man sich die Frage: wie oft muss sich die Trommel drehen, damit sie nicht einen viertel Meter Seil aufnimmt, sondern 9,6 Meter. Man könnte auch fragen: wie oft passen 251cm in 9,6m. Man teilt also 9,6m durch 251cm.

Die Trommel muss sich also 3,82 mal drehen, um 9,6 Meter Seil aufzunehmen. Das geschieht innerhalb von 16 Sekunden. So können wir also leicht die Drehzahl ausrechnen:

Die Rolle muss ich also pro Sekunde etwa 0,24 Mal drehen. Die Drehzahl wird aber normalerweise nicht in Hertz, sondern in der Einheit 1/min angegeben. Daher rechnen wir die 0,24 Hertz in die Einheit 1/min um:

Die Rolle muss sich also etwa 14,34 Mal pro Minute drehen!

Bemerkung: Die Kreisfrequenz ist hier übrigens:

Beachte, dass die Kreisfrequenz nie mit der tatsächlichen Frequenz übereinstimmt. Wenn du also irgendwo eine Frequenzangabe liest, dann musst du herausfinden, ob mit der Angabe die tatsächliche Frequenz oder die Kreisfrequenz gemeint ist. Hier in unserem Beispiel ist die tatsächliche Frequenz etwa 0,24 Hertz, die Kreisfrequenz etwa 0,75 Hertz.

b) Zuerst berechnen wir die Nutzleistung. Dafür bietet sich die Formel für die Leistung an, in der Kraft mal Geschwindigkeit benutzt wird, da wir die Geschwindigkeit ja kennen:

Alternativ kann man auch hier E=mgh und P=E/t benutzen:

Das liegt daran, dass die beiden Formeln P=E/t und P=Fv äquivalent sind:

Jedenfalls beträgt die Nutzleistung knapp 4709 Watt. Die nötige Gesamtleistung ergibt sich wie immer aus der Formel für den Wirkungsgrad:

Die Antriebsleistung beträgt also etwa 6,54kW. Für eine genauere Erklärung zum Wirkungsgrad schau weiter hinten unter „Erklärung von physikalischen Größen – Wirkungsgrad“ nach.