Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Модель Марковица

Основные концепции современной теории портфеля изложены в монографии, написанной доктором Гарри Марковицем. Первоначально Марковиц предположил, что управление портфелем является проблемой структурного, а не индивидуального выбора акций, что обычно практикуется. Марковиц доказывал, что диверсификация эффективна только тогда, когда корреляция между включенными в портфель рынками имеет отрицательное значение. Если у нас есть портфель, составленный из одного вида акций, то наилучшая диверсификация достигается в том случае, если мы выберем другой вид акций, которые имеют минимально возможную корреляцию с ценой первой акции. В результате этого портфель в целом (если он состоит из этих двух видов акций с отрицательной корреляцией) будет иметь меньшую дисперсию, чем любой вид акций, взятый отдельно.

Марковиц предположил, что инвесторы действуют рациональным способом и при наличии выбора предпочитают портфель с меньшим риском при равном уровне прибыльности или выбирают портфель с большей прибылью при одинаковом риске. Далее Марковиц утверждает, что для данного уровня риска есть оптимальный портфель с наивысшей доходностью, а для данного уровня доходности есть оптимальный портфель с наименьшим риском. Портфель, доходность которого может быть увеличена без соответствующего увеличения риска, или портфель, риск которого можно уменьшить без соответствующего уменьшения доходности, согласно Марковицу, неэффективны.

Рис. 1.7 показывает все имеющиеся портфели, рассматриваемые в данном примере. Если у вас портфель C, то лучше заменить его на портфель A, где прибыль такая же, но с меньшим риском, или на портфель B, где вы получите большую прибыль при том же риске.

Рис. 1.7. Современная теория портфеля

Описывая эту ситуацию, Марковиц ввел понятие «эффективная граница» (efficient frontier). Это набор портфелей, которые находятся в верхней левой части графика, т. е. портфели, прибыль которых больше не может быть увеличена без увеличения риска и риск которых не может быть уменьшен без уменьшения прибыли. Портфели, находящиеся на эффективной границе, называются эффективными (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Эффективная граница

Портфели, которые находятся вверху справа и внизу слева, в целом недостаточно диверсифицированы по сравнению с другими портфелями. Те же портфели, которые находятся в середине эффективной границы, обычно очень хорошо диверсифицированы. Выбор портфеля зависит от степени неприятия риска инвестором, иначе говоря, от желания взять на себя риск. В модели Марковица любой портфель, который находится на эффективной границе, является хорошим выбором, но какой именно портфель выберет инвестор – это вопрос личного предпочтения (позднее мы увидим, что есть точное оптимальное расположение портфеля на эффективной границе для всех инвесторов).

Модель Марковица первоначально была представлена для портфеля акций, который инвестор будет держать достаточно долго. Поэтому основными входными данными были ожидаемые доходы по акциям (определяется как ожидаемый прирост цены акции плюс дивиденды), ожидаемые дисперсии этих доходов и корреляции доходов между различными акциями. Если бы мы перенесли эту концепцию на фьючерсы, то было бы разумным (так как по фьючерсам не выплачивают дивидендов) измерять ожидаемое повышение цены, дисперсию и корреляции различных фьючерсов.

Возникает вопрос: «Если мы измеряем корреляцию цен, то что произойдет при включении в портфель двух систем с отрицательной корреляцией, работающих на одном и том же рынке?» Допустим, у нас есть системы A и B с отрицательной корреляцией. Когда A в проигрыше, B – в выигрыше, и наоборот. Разве это не идеальная диверсификация? Действительно, мы хотим измерить не корреляции цен рынков, на которых работаем, а корреляции изменений ежедневных балансов различных рыночных систем. И все-таки это является сравнением яблок и апельсинов. Например, две рыночные системы, корреляции которых мы собираемся измерить, работают на одном и том же рынке, и одна из систем имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 2000 долл. на счете, а другая система имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 10 000 долл. на счете. Чтобы понять суть торговли фиксированной долей в портфеле из нескольких систем, мы переведем изменения ежедневного баланса для данной рыночной системы в ежедневные HPR. В этом контексте HPR означает, сколько заработано или проиграно в данный день на основе 1 контракта в зависимости от оптимального f для этой системы. Рассмотрим пример. Скажем, рыночная система с оптимальным f в 2000 долл. за день заработала 100 долл. Тогда HPR для этой рыночной системы составит 1,05. Дневное HPR можно найти следующим образом:

Дневное HPR = (A / B) + 1, (1.15)

где A – сумма (в долларах), выигранная или проигранная за этот день;

B – оптимальное f в долларах.

Для рассматриваемых рыночных систем преобразуем дневные выигрыши и проигрыши в дневные HPR, тогда мы получим значение, не зависящее от количества контрактов. В указанном примере, где дневное HPR = 1,05, вы выиграли 5 %. Эти 5 % не зависят от того, был у вас 1 или 1000 контрактов. Теперь можно сравнивать разные портфели. Мы будем сравнивать все возможные комбинации портфелей, начиная с портфелей, состоящих из одной рыночной системы (для каждой рассматриваемой рыночной системы), и заканчивая портфелями из N рыночных систем. В качестве примера рассмотрим рыночные системы A, B и C. Их комбинации будут выглядеть следующим образом:

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

Но не будем останавливаться на этом. Для каждой комбинации рассчитаем веса рыночных систем в портфеле. Для этого необходимо задать минимальный процентный вес системы (или минимальное изменение веса). В следующем примере (портфель из систем A, B, C) этот минимальный вес системы равен 10 % (0,10):

Введем понятие КСП – комбинация систем в портфеле. Теперь для каждой КСП рассчитаем совокупное HPR для отдельного дня. Совокупное HPR для данного дня будет суммой HPR каждой рыночной системы для этого дня, умноженных на процентные веса систем. Например, для систем A, B и C мы рассматриваем процентные веса 10, 50 и 40 % соответственно. Далее допустим, что отдельные HPR для этих рыночных систем в тот день были 0,9, 1,4 и 1,05 соответственно. Тогда совокупное HPR для этого дня будет:

Совокупное HPR = (0,9 * 0,1) + (1,4 * 0,5) + (1,05 * 0,4) = 0,09 + 0,7 + 0,42 = 1,21.

Теперь нанесем дневные HPR для каждой КСП на ось Y. В модели Марковица это соответствует получаемому доходу. На оси X отложим стандартное отклонение дневных HPR для каждой КСП. В модели Марковица это соответствует риску.

Современную теорию портфеля часто называют теорией E-V, что соответствует названиям осей. Вертикальную ось часто называют E – ожидаемая прибыль (expected return), а горизонтальную ось называют V – дисперсия ожидаемой прибыли (variance in expected returns).

После этого можно найти эффективную границу. Мы включили различные рынки, системы и факторы f и теперь можем количественно определить лучшие КСП (т. е. КСП, которые находятся вдоль эффективной границы).

Стратегия среднего геометрического портфеля

То, в какой именно точке на эффективной границе вы будете находиться (т. е. какова эффективная КСП), является функцией вашего собственного неприятия риска, по крайней мере в соответствии с моделью Марковица. Однако есть оптимальная точка на эффективной границе, и с помощью математических методов можно найти эту точку. Если вы выберете КСП с наивысшим средним геометрическим HPR, то достигнете оптимальной КСП! Мы можем рассчитать среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR (обе эти величины у нас уже есть, так как они являются осями Х и Y модели Марковица). Уравнения (1.16, а) и (1.16, б) дают нам формулу для оценочного среднего геометрического EGM (estimated geometric mean). Данный расчет очень близок (обычно до четвертого или пятого знака после запятой) к реальному среднему геометрическому, поэтому можно использовать оценочное среднее геометрическое вместо реального среднего геометрического:

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2), (1.16, а)

или

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2), (1.16, б)

где EGM – оценочное среднее геометрическое;

AHPR – среднее арифметическое HPR, или координата, соответствующая доходу по портфелю;

SD – стандартное отклонение HPR, или координата, соответствующая риску по портфелю;

V – дисперсия HPR, равная SD ^ 2.

Обе формы уравнения (1.16) эквивалентны.

При КСП с наивысшим средним геометрическим рост стоимости портфеля будет максимальным; более того, данная КСП позволит достичь определенного уровня баланса за минимальное время.

Ежедневные процедуры при использовании оптимальных портфелей

Посмотрим на примере, как применять вышеописанный подход на ежедневной основе. Допустим, что оптимальное КСП соответствует трем различным рыночным системам. Предположим, что процент размещения составляет 10, 50 и 40 %. Если бы вы рассматривали счет в 50 000 долл., то он был бы «разделен» на три субсчета в 5000, 25 000 и 20 000 долл. для каждой рыночной системы (A, B и C) соответственно. Затем для баланса по субсчету каждой рыночной системы вычислите, сколькими контрактами торговать. Скажем, фактор f дал следующие величины:

Рыночная система A: 1 контракт на 5000 долл. баланса счета.

Рыночная система B: 1 контракт на 2500 долл. баланса счета.

Рыночная система C: 1 контракт на 2000 долл. баланса счета.

Тогда вы будете торговать 1 контрактом для рыночной системы A ($5000 / $5000), 10 контрактами для рыночной системы B ($25 000 / $2500) и 10 контрактами для рыночной системы C ($20 000 / $2000).

Каждый день, когда общий баланс счета меняется, все субсчета перерассчитываются. Допустим, что счет в 50 000 долл. на следующий день понизился до 45 000 долл. Так как мы каждый день заново перераспределяем средства по субсчетам, то получаем 4500 долл. для рыночной системы A, 22 500 долл. для рыночной системы B и 18 000 долл. для рыночной системы C. На следующий день мы будем торговать нулевым количеством контрактов по рыночной системе A ($4500 / $5000 = 0,9 и, так как мы всегда основываемся на целых числах, 0), 9 контрактами для рыночной системы B ($22 500 / $2500) и 9 контрактами для рыночной системы C ($18 000 / $2000). Перерассчитывайте субсчета ежедневно независимо от того, что вы получили: прибыль или убыток. Помните, субсчета, использованные здесь, являются условной конструкцией.

Есть более простой для понимания способ, дающий те же самые ответы, – деление оптимального f рыночной системы на ее процентный вес. Это даст сумму в долларах, на которую мы затем разделим общий баланс счета, чтобы узнать, сколькими контрактами торговать. Так как баланс счета изменяется ежедневно, мы перерассчитываем субсчета также ежедневно для получения нового общего баланса счета. В рассмотренном примере рыночная система A при значении f в 1 контракт на 5000 долл. баланса счета и процентном весе 10 % соответствует 1 контракту на 50 000 долл. общего баланса счета ($5000 / 0,10). Рыночная система B при значении f в 1 контракт на 2500 долл. баланса счета и процентном весе 50 %, соответствует 1 контракту на 5000 долл. общего баланса счета ($2500 / 0,50). Рыночная система C при значении f в 1 контракт на 2000 долл. баланса счета и процентном весе 40 % соответствует 1 контракту на 5000 долл. общего баланса счета ($2000 / 0,40). Таким образом, если бы у нас было 50 000 долл. на счете, мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе A, 10 контрактами в рыночной системе B и 10 контрактами в рыночной системе C.

На следующий день процедура повторяется. Скажем, наш общий баланс счета повысился до 59 000 долл. В этом случае разделим 59 000 долл. на 50 000 долл. и получим 1,18 (или, округляя до целого числа, 1), поэтому завтра мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе A, 11 контрактами ($59 000 / $5000 = 11,8, что ближе к целому числу 11) в рыночной системе B и 11 контрактами в рыночной системе C.

Предположим, в рыночной системе C со вчерашнего дня у нас открыта длинная позиция на 10 контрактов. Нам не следует добавлять сегодня до 11 контрактов. Суммы, которые мы рассчитываем с использованием баланса, рассчитываются только для новых позиций. Поэтому завтра (если было открыто 10 контрактов, но мы закрыли позицию, т. е. зафиксировали прибыль) нам следует открыть 11 контрактов, если мы посчитаем это целесообразным. Расчет оптимального портфеля с использованием ежедневных HPR означает, что нам следует входить на рынок и изменять позиции на ежедневной основе, а не от сделки к сделке, но это необязательно делать, если мы будем торговать по долгосрочной системе, поскольку будет невыгодно регулировать размер позиции на ежедневной основе из-за высоких накладных расходов. Вообще говоря, следует изменять позиции на ежедневной основе, но в реальной жизни можно изменять их от сделки к сделке с малой потерей точности.

Применение правильных дневных позиций не является большой проблемой. Вспомните, что при поиске оптимального портфеля мы использовали в качестве вводных данных дневные HPR. Поэтому нам следовало бы изменять размер позиции ежедневно (если бы мы могли изменять каждую позицию по цене, по которой она закрылась вчера). В действительности это становится непрактично, так как издержки на транзакции начинают перевешивать прибыли от ежедневного изменения позиций.

С другой стороны, если мы открываем позицию, которую собираемся удерживать в течение года, нам следует пересматривать ее чаще, чем раз в год (т. е. в конце срока, когда мы откроем другую позицию). Вообще, в подобных долгосрочных системах нам лучше регулировать позицию каждую неделю, а не каждый день. Аргументация здесь такова: потери из-за не совсем правильных дневных позиций могут быть меньше, чем дополнительные издержки по сделкам для ежедневного изменения позиций. Вы должны определить, основываясь на используемой торговой стратегии, какие из потерь будут для вас меньше.

Какой объем исторических данных необходим для расчета оптимальных портфелей? Этот вопрос можно сформулировать несколько иначе: какой объем исторических данных необходим для определения оптимального f данной рыночной системы? Точного ответа не существует. Вообще, чем больше исторических данных вы используете, тем лучше должен быть результат (т. е. оптимальные портфели в будущем будут напоминать нынешние оптимальные портфели, рассчитанные по историческим данным). Однако соотношения изменяются, хотя и медленно. Одна из проблем при использовании данных за слишком большой период времени заключается в том, что возникает тенденция к использованию в портфеле рынков, которые были активны в прошлом. Например, если бы вы создавали портфель в 1983 г. на прошлых данных за 5 лет, то, вероятнее всего, один из драгоценных металлов оказался бы частью оптимального портфеля. Однако торговые системы по драгоценным металлам работали в большинстве своем очень плохо на протяжении нескольких лет после 1980–1981 гг. Поэтому, как видите, при определении будущего оптимального портфеля между использованием слишком большого количества исторических данных и слишком малого количества данных нужно найти золотую середину.

И наконец, возникает вопрос: как часто следует повторять всю процедуру поиска оптимального портфеля? По большому счету, вы должны делать это постоянно. Однако в реальной жизни достаточно тестировать портфель каждые три месяца. И даже если производить эту операцию каждые три месяца, все еще есть высокая вероятность, что вы придете к тому же составу портфеля или очень сходному с тем, что создали ранее.

Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100%

До настоящего момента мы ограничивали сумму процентных весов 100 %. Однако возможно, что сумма процентных размещений для портфеля, который будет иметь наивысший геометрический рост, превысит 100 %. Рассмотрим, например, две рыночные системы – A и B, которые идентичны во всех отношениях, за тем исключением, что у них отрицательная корреляция (R < 0). Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долл. Допустим, что оптимальный портфель на основе самого высокого среднего геометрического – это портфель, который размещает 50 % в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торговать 1 контрактом на каждые 10 000 долл. баланса для рыночной системы A и для системы B. Однако, когда есть отрицательная корреляция, можно показать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при торговле 1 контрактом для баланса, меньшего 10 000 долл. для рыночной системы A и/или рыночной системы B. Другими словами, когда есть отрицательная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100 %. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдельности превысить 100 %.

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночными системами приближается к –1,00. В этом случае сумма для финансирования сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как проигранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается суммой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помощью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе.

С этой целью для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем примере, вместо того чтобы выбрать 5000 долл. в качестве оптимального f, для рыночной системы A нам следует использовать 2500 долл. (разделив 5000 долл., оптимальное f, на 2 – количество рыночных систем, в которых мы собираемся торговать) и таким же образом следует поступить с рыночной системой B. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50 % для системы A и 50 % для системы B, это означает, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A ($2500 / 0,5) и для системы B.

В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост получен при 50 % для системы A и 40 % для системы B. Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A и 1 контрактом на каждые 6250 долл. для системы B ($2500 / 0,4). При использовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10 % в деньгах).

Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит систему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, используемые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы – A и B. Далее предположим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему беспроцентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60 % в рыночной системе A, на 40 % в рыночной системе B (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100 %) и на 0 % в системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на 2, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Конечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные активы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем.

Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых достигался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100 %. Этого можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной системы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (т. е. рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыночных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его составляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки).

Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 долл., когда выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 долл., когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) 50 центов. Оптимальное f составляет 0,25, т. е. надо ставить 1 долл. на каждые 4 долл. на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске монеты, составляет 0,90 долл., а сумма, которую вы можете проиграть, – 1,10 долл. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание –0,10 долл., таким образом, здесь нет оптимального f и, соответственно, нет и среднего геометрического.

Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (т. е. мы выигрываем при выпадении лицевой стороны, а монета всегда падает либо на лицевую, либо на обратную сторону), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 долл. при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 долл. при выпадении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 долл., оптимальное f = 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием.

Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию, т. е., когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лицевую сторону, мы теряем 1,10 долл., и наоборот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 долл. в одном случае и проигрыш –0,10 долл. – в другом. Математическое ожидание все еще 0,40 долл., однако оптимальное f = 0,44, что дает среднее геометрическое 1,67. Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыш в 10 раз больший, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат получен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее комбинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыночными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.

Важно помнить, что исторически ваш проигрыш может быть такой же большой, как и процент f (в смысле возможного уменьшения баланса). В действительности вам следует ожидать, что в будущем он будет выше, чем данное значение. Это означает, что комбинация двух рыночных систем, даже если они имеют отрицательную корреляцию, может привести к уменьшению баланса на 44 %. Это больше, чем в системе с положительным математическим ожиданием, в которой оптимальное f = 0,25, и поэтому максимальный исторический проигрыш уменьшит баланс только на 25 %. Мораль такова: диверсификация, если она произведена правильно, является методом, который повышает прибыли. Она не обязательно уменьшает проигрыши худшего случая, что абсолютно противоречит популярному представлению.

Диверсификация смягчает многие мелкие проигрыши, но она не уменьшает проигрыши худшего случая. При оптимальном f максимальные проигрыши могут быть существенно больше, чем думают многие. Поэтому, даже если вы хорошо диверсифицировали портфель, следует быть готовым к значительному уменьшению баланса.

Однако давайте вернемся и посмотрим на результаты, когда коэффициент корреляции между двумя играми равен 0. В такой ситуации, какими бы ни были результаты одного броска, они не влияют на результаты другого броска. Таким образом, есть четыре возможных результата.

Математическое ожидание равно:

МО = 2,9 * 0,25 + 0,9 * 0,25 – 0,1 * 0,25 – 2,1 * 0,25 = 0,725 + 0,225 – 0,025 – 0,525 = = 0,4.

Математическое ожидание равно 0,40 долл. Оптимальное f в этой последовательности составляет 0,26, или 1 ставка на каждые 8,08 долл. на балансе счета (так как наибольший проигрыш здесь равен –2,10 долл.). Таким образом, максимальный исторический проигрыш может быть 26 % (примерно такой же, что и в простой игре с положительным математическим ожиданием). Однако в этом примере происходит сглаживание уменьшений баланса. Если бы мы просто рассматривали игру с положительным ожиданием, то третья последовательность принесла бы нам максимальный проигрыш. Так как мы комбинируем две системы, третья последовательность более ровная. Это – единственный плюс. Среднее геометрическое здесь равно 1,025, т. е. скорость роста в два раза меньше, чем при простой игре с положительным математическим ожиданием. Мы делаем 4 ставки (когда могли бы сделать только 2 ставки в простой игре с положительным ожиданием), а больше не зарабатываем:

1,0607 ^ 2 = 1,12508449,

1,025 ^ 4 = 1,103812891.

Очевидно, что при диверсификации вы должны использовать такие рыночные системы, которые имеют самую низкую корреляцию прибылей друг к другу и желательно отрицательную. Вы должны понимать, что уменьшение баланса худшего случая едва ли будет смягчено диверсификацией, хотя вы сможете смягчать многие более слабые уменьшения баланса. Наибольшая польза диверсификации состоит в улучшении среднего геометрического. Метод поиска оптимального портфеля путем рассмотрения чистых дневных HPR упраздняет необходимость смотреть за тем, сколько сделок в каждой рыночной системе произошло. Использование этого метода позволит вам наблюдать только за средним геометрическим независимо от частоты сделок. Таким образом, среднее геометрическое становится единственной статистической оценкой того, насколько прибыльным является портфель. Главная цель диверсификации – это получение наивысшего среднего геометрического.