Несмотря на все эти доводы, аргументы можно провести фундаментальную параллель между квантовой и классической информацией. Хотя носитель квантовой информации в явном виде, в эксперименте не зарегистрирован, есть гипотетическая возможность использования квантовой информации для сверхсветовой передачи информации классической.
Создание запутанных состояний гейтом
CNOT
Помимо косвенной сверхсветовой сигнализации посредством телепортации состояния запутанности можно рассмотреть еще один гипотетический способ непосредственной сверхсветовой коммуникации. С этой целью удобно использовать квантовые гейты CNOT, которые позволяют получить состояние запутанности вместо параметрического распада. Математическое описание этого процесса достаточно наглядно. Схема гейта CNOT представлена на рис.1a – изображение, чаще всего используемое в литературе, на рис.1б – изображение гейта, использованного в схеме традиционной квантовой телепортации (перевернуто).
Рис.1. Схема гейта CNOT
Обозначения входов и выходов перевернутого изображения гейта, используемого далее в схеме рис.2, полностью соответствуют его традиционной таблице состояний (ниже). Математически этот квантовый оператор описывается выражением:
где a⊕b означает логическое сложение по модулю 2. Как видно из выражения, управляющий сигнал проходит со входа на выход без изменений. Матрица преобразования гейта CNOT имеет вид:
Подадим на управляющий и управляемый входы CNOT два фотона, соответственно, в следующих состояниях:
Это состояние системы фотонов на входе гейта будет описываться уравнением и матрицей вида:
После прохождения фотонов через гейт будет получено новое состояние системы:
Знак неравенства означает, что на выходе получено запутанное (белловское) состояние фотонов: управляющего и управляемого, поскольку такое состояние не может быть факторизовано, то есть, не может быть представлено как тензорное произведение состояний независимых фотонов. Из этого сразу же следует, что входной управляющий сигнал на выход в неизменном виде все-таки не прошёл.
Состояния квантовых частиц с нелокальными свойствами в квантовой механике известны как состояния полной запутанности – состояния Белла:
Два из этих состояний в литературе известны под собственными именами: ψ – – "ЭПР-состояние" и ϕ+ – "состояние шрёдингеровского кота". Частицы в состоянии запутанности ведут себя как единое целое независимо от расстояния между ними, демонстрируя полную и мгновенную взаимосвязь. Однако приведённые четыре состояния Белла – это лишь часть всех возможных состояний запутанности, их частный случай. Как и чистых состояний Белла, таких общих состояний также четыре:
В литературе гейт CNOT описывается помимо уравнений также таблицей истинности, в которой, однако, не отражено это свойство гейта – создавать запутанные состояния. То есть, традиционная таблица истинности гейта CNOT неполна, и должна быть дополнена строками, отражающими создание запутанных состояний. В конец полной таблицы состояний гейта CNOT должны быть добавлены следующие две строки:
Эти строки показывают, что при определённых комбинациях входных сигналов на выходе образуется запутанное состояние, которое не является логическим сложением по модулю 2. Запутанные состояния приведены в общем виде, частным случаем которых являются запутанные состояния Белла ϕ± и ψ±, для которых α = β = 1/√2. Это дополнение расширяет понятие гейта "Controlled NOT" (CNOT, "управляемое НЕ"), поскольку его управляемый вход при определённых условиях становится управляющим.
Телепортация запутанности
Квантовая телепортация, то есть, мгновенная передача квантового состояния от одной частицы к другой – это свершившийся экспериментальный факт. В процессе традиционной "квантовой телепортации состояния" частицы (кубиты) преобразуются в специальной установке, где они последовательно изменяют свои состояния. Если немного видоизменить классическую установку, то можно попытаться осуществить еще одни вариант телепортации – "телепортацию состояния запутанности". Это более общий случай телепортации, когда телепортируется не состояние одного кубита, а состояние запутанности пары кубитов, что, вероятно, позволит получить новый интересный результат. Для такой расширенной телепортации в схеме традиционной установки следует поменять местами гейт CNOT и гейт Адамара, как показано на рис.2.
Рис.2. Установка для телепортации запутанности
При описании процесса телепортации будем считать, что в его осуществлении принимают участие традиционные персонажи – Алиса и Боб. Пометим индексами A и C кубиты, принадлежащие Алисе, а индексами B и D кубиты, соответственно, принадлежащие Бобу. Волновые функции двух запутанных пар описываются уравнениями
Тогда на стороне Алисы исходные, начальные состояния системы кубитов, участвующих в телепортации запутанности, можно записать следующим образом:
Здесь мы совершаем кажущееся нарушение формализма теории, поскольку фотоны Алисы запутаны с соответствующими фотонами Боба, поэтому, казалось бы, не могут быть описаны собственной волновой функцией. Однако при отсутствии воздействий на фотоны Боба для Алисы её фотоны ничем не отличаются от обычных, незапутанных фотонов, и она может работать с каждым из них как с обычным фотоном. В этом случае независимые фотоны Алисы описываются волновыми функциями:
Пропустим кубит C Алисы через гейт Адамара. В результате получаем новую функцию системы
Раскрываем скобки у правых сомножителей
Раскрываем оставшиеся скобки и собираем однотипные члены уравнения
После группировки и сокращения получаем
Здесь мы в рамках формализма квантовой информатики выполнили хотя и очевидные, но не вполне обоснованные математические операции: совпадающие члены уравнения мы сложили, а члены, имеющие противоположные знаки, сократили. Иначе запись должна была иметь вид:
Но после сокращения получаем выражение
Заметим, что полученная волновая функции выглядит на первый взгляд довольно странно:
Это состояние не является запутанным, но любое совместное измерение всегда даст нулевую (горизонтальную) поляризацию фотона C. Казалось бы, фотоны независимы, поэтому любому результату измерения A должен соответствовать такой же любой результат измерения C. Но причиной образования состояния (2) является действие гейта Адамара: фотон C в результате попросту перешёл в пределах системы в ортогональное состояние |0С.
Пропустим полученную пару (2) через гейт CNOT. Для удобства перепишем новое состояние в матричном виде:
После прохождения фотонов Алисы через гейт CNOT состояние в матричном виде будет иметь вид:
В дираковской форме волновая функция теперь уже не может быть представлена как тензорное произведение двух независимых волновых функций фотонов A и C, что означает запутанное состояние этих фотонов (чистое состояние Белла ϕ+, состояние шрёдингеровского кота):
Для контроля проделаем все эти же преобразования в дираковской форме. Используем выражение (2):
Пропустим эту пару через гейт CNOT и сразу же в соответствие с таблицей состояний гейта CNOT получаем то же самое новое состояние системы:
Итак, двумя способами мы получили один и тот же результат: на стороне Алисы фотоны A и C перешли в запутанное состояние. Однако каждый из этих фотонов запутан также и со своей исходной парой, поэтому вследствие унитарности проведенных преобразований неизбежно запутанными оказываются и фотоны, переданные Бобу:
Если Алиса не делает над своими фотонами никаких измерений, то состояние запутанности сохранится и на стороне Боба. Это означает, что фотонам Боба передано запутанное состояние. В этом случае все измерения у Боба фотонов D и B будут давать 100% парных прохождений при любой ориентации поляризаторов.