Buch lesen: «Расчёт арбитражных ситуаций (вилок) в букмекерских конторах и на биржах ставок.», Seite 9
Если для двух обычных BACK коэффициентов условие вилочности записывается в виде
1/K1+1/K2 < 1
то, подставив в это формулу выражения BACK коэффициентов через LAY коэффициенты, получим условие вилочности на LAY коэффициенты:
1/(1+1/(KLAY1-1))+1/(1+1/(KLAY2-1)) = (KLAY1-1)/KLAY1+(KLAY2-1)/KLAY2=
2-(1/KLAY1+1/KLAY2) < 1
или
(1/KLAY1+1/KLAY2) > 1
То есть условие вилочности на LAY коэффициенты по виду очень похоже на условие вилочности для BACK коэффициентов. Все также, только знак ‘меньше’ поменялся на знак ‘больше’.
Аналогично выводится трех-исходное условие вилочности для LAY коэффициентов. Только здесь нужно применить условия вилочности для двойных шансов (справа вместо 1 стоит 2):
1/(1+1/(KLAY1-1))+1/(1+1/(KLAY2-1))+1/(1+1/(KLAY2-1)) < 2
(KLAY1-1)/KLAY1+(KLAY2-1)/KLAY2 +(KLAY3-1)/KLAY3 < 2
1-1/KLAY1+1-1/KLAY2 +1-1/KLAY3 < 2
(1/KLAY1+1/KLAY2+1/KLAY3) > 1
Получим условие вилочности для двух-исходной вилки, где один из коэффициентов выражен в BACK-форме, а другой в LAY– форме.
1/(1+1/(KLAY1-1))+ 1/K2 = (KLAY1-1)/KLAY1 + 1/K2 = 1 -1/KLAY1 + 1/K2 < 1
Или 1/KLAY1 – 1/K2 > 1
Вторая проблема, возникающая при расчетах вилок на биржах ставок, это учет комиссионных биржи. Первый случай, который мы рассмотрим, это когда только один из исходов вилки находится на бирже. В этом случае, как легко видеть, для вычисления условий вилочности и процента вилки нужно вычесть из дохода игрока величину комиссии на прибыль с выигравшего исхода. Тогда доход игрока будет равен
K*V – (K-1)*V*m, где m – комиссия биржи.
Если это выражение переписать как
(K – (K-1)*m)*V, то видно, что для определения условий вилочности и процента вилки, можно просто взять, вместо исходного коэффициента выплаты K, скорректированный на величину комиссии коэффициент K – (K-1)*m. Комиссия берется не со всего дохода игрока, а только с его чистой прибыли (K-1)*V.
Теперь рассмотрим случай, когда два исхода в вилке 1-X-2 находятся на бирже и комиссия биржи берется с рынка в целом. То есть, поскольку только одна ставка может выиграть, а другая обязательно проиграет, то комиссия берется с ‘чистой’ прибыли игрока на данной бирже. Она равна разнице между прибылью по выигравшему исходу и сумой второй, проигранной ставки.
Выпишем условия прибыльности, учитывая комиссию рынка. Здесь ставки 2 и 3 находятся на бирже, которая берет комиссию.
K1*V1 > V
K2*V2 – m*((K2-1)*V2-V3) > V (ставка на бирже)
K3*V3 – m*((K3-1)*V3-V2) > V (ставка на той же бирже)
В случае, если выиграла вторая ставка, чистая прибыль будет равна разнице между прибылью второй ставка (K2-1)*V2 и проигранной ставкой V3. Комиссия биржи будет равна
m*((K2-1)*V2-V3), где m – процент комиссии.
Аналогично рассматривается случай выигрыша третьей ставки.
Для нахождения условий вилочности воспользуемся методом равной прибыли на все исходы.
K1*V1 = K2*V2 – m*((K2-1)*V2-V3) = K3*V3– m*((K3-1)*V3-V2)
Из последнего равенства следует:
V2*(K2-m*K2+m-m) = V3*( K3-m*K3+m-m)
V2*K2*(1-m) = V3*K3*(1-m)
V2*K2 = V3*K3
Далее,
K1*V1 = V2*(K2-m*(K2-1))+m*K2*V2/K3
K1*V1 = V2*(K2-m*(K2-1)+m*K2/K3)
V2 = K1*V1/(K2-m*(K2-1)+m*K2/K3)
аналогично
V3 = K1*V1/( K3-m*(K3-1)+m*K3/K2)
V = V1+V2+V3 = V1*(1+K1/( K2-m*(K2-1)+m*K2/K3)+K1/( K3-m*(K3-1)+m*K3/K2))
Отсюда условия вилочности:
1/K1+1/( K2-m*(K2-1)+m*K2/K3)+1/( K3-m*(K3-1)+m*K3/K2) < 1
То есть они совпадают с условиями вилочности для обычной вилки 1-X-2 без комиссии, если коэффициент
K2 = KO2-m*(KO2-1)+m*KO2/KO3
K3 = KO3-m*(KO3-1)+m*KO3/KO2
Где KO2, KO3 – коэффициенты без учета комиссии, то есть те коэффициенты, которые даются в таблицах коэффициентов биржи
Всего существует 20 различных вариантов уравнений прибыльности (см. Приложение 1 и 2). Для каждого из таких уравнений существует три варианта распределения двух ‘биржевых’ ставок среди всех трех ставок. Это уже дает 60 различных систем неравенств, которые потребуется решить, что вывести условия вилочности коэффициентов на биржах ставок, то есть в условиях, когда берется комиссия в целом с рынка. Если учесть необходимость вывода формул распределения сумм ставок при ‘перекосах’, то это делает отдельный вывод всех этих формул практически бессмысленным. Гораздо проще будет, в таком случае, пользоваться общими формулами для условий вилочности и сумм частичных ставок, выведенными в разделе Расчет вилок в букмекерских конторах.
12. Вилки как источник ставок с перевесом.
Вилки являются хорошим инструментом игрока сами по себе. Но у них есть еще одно полезное свойство. Они являются неплохим источником ставок с перевесом. А именно – среди ставок составляющих вилку хотя бы одна ставка является ставкой с перевесом над конторой.
Если Вы посмотрите на все ставки данной конторы или множества контор, то много ли Вы сможете сказать наверняка про количество ставок с перевесом? – я думаю практически ничего. А вот если мы рассмотрим все ставки, входящие вилки то мы можем высказать одно вполне обоснованное суждение – среди ставок входящих в вилки не меньше 33% составляют ставки с перевесом. Действительно рассмотрим истинные вероятности исходов матча:
P1 + PX + P2 = 1
Допустим, что все коэффициенты в вилке (K1, KX, K2) меньше коэффициентов соответствующих этим истинным вероятностям исходов спортивного события.
K1 <= 1/ P1
KX <= 1/ PX
K2 <= 1/ P2
Тогда, суммируя неравенства, получаем
1/K1 + 1/K2 + 1/K3 >= P1 + PX + P2 = 1
Что противоречит исходному предположению, что коэффициенты образуют вилку. Значит, хотя бы один из коэффициентов K1, KX или K2 будет удовлетворять условию K > 1/P, то есть являться ставкой с перевесом.
Понятно, что если рассматривать только двух-исходовые вилки, то процент ставок с перевесом среди них будет не меньше 50%. Неплохая исходная позиция для реального практического поиска ставок с перевесом.
Существует простая стратегия, дающая гарантированный выигрыш в среднем за большой период – ставить случайным образом на один из исходов вилки. Доказательство выигрышности этой стратегии очень простое, хотя и не совсем строгое. Возьмем двух игроков. Один будет делать ставки из тех, что входят в состав вилки, совершенно случайным образом. А второй будет делать каждый раз ставку противоположную, той которую сделал первый игрок. Ясно, что ставки сделанные вторым игроком тоже ‘случайны’. То есть, математическое ожидание выигрыша у обоих игроков должно быть одинаковым. Пусть оно будет равно W. Но вместе они выигрывают 2*W. Поскольку, фактически каждый раз вместе оба игрока ‘проводят’ вилку, то 2*W > 0 и W > 0, то есть стратегия случайного отбора ставки в вилке – выигрышная в среднем стратегия.
Для практического использования алгоритм следует уточнить. Сумма ставки – постоянный возможный выигрыш (флет), или случайна, в каком-то диапазоне. Существует большая вероятность, что для плеча вилки, имеющего реальный перевес, контора быстро урежет максимум суммы ставки до величины ниже, чем предполагаемая сумма ставки. Если это не учитывать, то возникнет асимметрия, которая сделает алгоритм неприемлемым. Для восстановления симметрии применяем следующее правило. Перед тем как делать ставку на выбранное случайное плечо, проверяем также и противоположное плечо. На тот предмет, что там можно сделать ставку по той сумме, которую Вы заранее определили. То есть, что максимум не урезан. Если максимум урезан хотя бы в одном из плеч вилки, то ставка не делается вообще.
Применяя метод 'случайного плеча вилки', Вы можете иметь представление о величине Вашего перевеса. Как следует из доказательства его 'прибыльности', величина перевеса случайного плеча вилки будет равна величине прибыльности вилки, из которой выбирается случайное плечо. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно в предыдущем доказательстве выбирать случайно ставки но не из всего множества вилок, а из множества вилок с определенной прибыльностью.
А значит можно вполне обоснованно применить какой-нибудь вариант критерия Келли, который для увеличения скорости прироста банка ставит сумму ставки в зависимость от Вашего перевеса.
Дальнейшие изыскания могут быть в направлении дополнительной фильтрации вилочных исходов, с тем, чтобы повысить процент ставок с перевесом в отфильтрованном множестве. Например, часто в трех-исходной вилке два исхода находятся в одной конторе, а третий в другой. На мой взгляд, в такой ситуации более вероятно, что ставка с перевесом не будет среди тех двух, что находятся в одной и той же конторе.
