Buch lesen: «Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера», Seite 2

Schriftart:

Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch_A| и |ch_A| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch_B| и |ch_B|, мощности которых также равны между собой.

Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch_A| и |ch_B| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch_A| и |nch_B| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.

Таким образом, можно записать следующие тождества:

|ch_A| = |ch_B|;

|nch_A| = |nch_B|;

|ch_A| = |nch_A|;

|ch_B| = |nch_B|; (2.6)

|ch_A| = |nch_B|;

|ch_B| = |nch_A|;

|nch_A| = |ch_B|;

|nch_B| = |ch_A|.

Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (a_i,b_i) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.

Докажем следующую небольшую лемму.

Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.

Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.

Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.

Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].

Доказательство. Действительно, согласно выражению (2.3) на числовой оси [0;2n] можно составить n симметричных пар (a_i,b_i) таких, что a_i + b_i = 2n. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано.

Из сформулированной выше теоремы следует две леммы, доказательства которых очевидны.

Лемма 3. Любое четное число 2n представимо суммой симметричных пар четных или нечетных чисел, количество которых равно n.

Доказательство указанного утверждения фактически приведено выше.

Из рассмотренного выше исследования симметричных пар чисел нас интересует класс нечетных симметричных пар чисел, среди которых класс симметричных простых чисел.

3. Симметричные пары простых чисел

Рассмотрим в первую очередь интересный класс симметричных пар чисел из множества нечетных чисел.

В предыдущем разделе было показано, что числа симметричной пары всегда имеют одинаковую четность, т.е. состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел.

Исследуем подмножества симметричных пар нечетных чисел, сумма которых, конечно, является четным числом.

Как было показано в предыдущем разделе, оба подмножества нечетных чисел nch_A множества A и nch_B множества B имеют однозначное соответствие и, следовательно, имеют одинаковые мощности или то же самое равное количество элементов.

Выделим в каждом из них еще по два подмножества, а именно:

Подмножество составных нечетных чисел S и подмножество простых чисел P, которые запишем следующими выражениями

nch_A = S_AU P_A;

nch_B = S_B U P_B, (3.1)

где S_A, S_B – подмножества составных нечетных чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно;

P_A, P_B – подмножества простых чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно.

Так в примере, приведенном выше

S_A= {9}, а P_A= {1, 3, 5, 7}

S_B = {15} и P_B = {11, 13, 17, 19}.

Исследуем вопрос, как будут соотноситься элементы указанных подмножеств, при формировании симметричных пар конкретного числа n.

Анализ рис. 2 показывает, что при формировании симметричных пар числа n будут участвовать как составные нечетные, так и простые числа. Из (2.6) имеем, что мощность |nch_A| подмножества элементов нечетных чисел nch_A множества A будет равна мощности |nch_B| подмножества нечетных nch_B множества B, т.е. имеем

|nch_A| =|nch_B|. (3.2)

Тогда, исходя из того же выражения (2.6) можно записать

|nch_A| =|S_A| + |P_A| = |nch_B| =|S_B| + |P_B|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|S_A| + |P_A| = |S_B| + |P_B|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

S_A U P_A<=>S_B U P_B. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств S_A и P_A однозначно соответствуют объединению подмножеств S_B и P_B.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a₁ n b₁

Рис. 2

Запишем подмножество nch_A. Оно будет

nch_A ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nch_B будет состоять из следующих элементов

nch_B ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nch_A| = |nch_B| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

S_A = {15;9}, P_A = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |S_A| =2, а |P_A| =6.

Аналогично

S_B = {21;25;27}, P_B = {17;19;23;29;31}, при чем, |S_B| =3, а |P_B| =5.

Построим таблицу соответствия подмножеств nch_A и nch_B для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар

Таблица 2

nch_A

nch_B

Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел

Таблица 3

nch_A

S_A

P_A

nch_B

S_B

P_B

Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).

Далее, рассмотрим случай числа n=32.

Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют

nch_A ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nch_A| =16.

Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет

S_A ={27;25;21;15;9}, |S_A| =5.

Подмножество простых чисел и его мощность составляет

P_A={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |P_A| =11.

Соответственно для подмножества В

nch_В ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nch_В| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.

Соответственно,

S_В ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |S_В| =9,

P_В ={37;41;43;47;53;59;61}, |P_В| =7.