Апология математики (сборник статей)

Свойства простых чисел

Каждое число n, кроме единицы, имеет хотя бы один простой делитель. Доказать этот факт весьма просто. Возьмём какое угодно число n, большее единицы. Среди делителей нашего числа n заведомо присутствуют числа, отличные от единицы: например, само число n. Составим список всех отличных от единицы делителей числа n, выберем из них наименьший (т. е. самый маленький) и как-нибудь его обозначим: например, q. Вот это q и будет тем простым делителем числа n, который мы ищем. Мы уже знаем, что q отлично от единицы. Осталось убедиться, что q не делится ни на что, кроме единицы и самого себя. Возьмём какое-то отличное от единицы число x, на которое делится q, и покажем, что оно равно q. В самом деле, это x служит делителем числа q, а q служит делителем числа n; значит, x также служит делителем числа n (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Значит, оно входит в составленный нами список и потому не может быть меньше, чем наименьший член этого списка, каковым является q. Вместе с тем x, будучи делителем числа q, не может быть больше, чем q (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Для x остаётся одна возможность – совпасть с q.

Ещё в III в. до н. э. в «Началах» Евклида было доказано, что среди простых чисел нет наибольшего: их ряд 2, 3, 5, …, 829, 839, 853, …, 2797, 2801, 2803, … никогда не кончается; иными, современными, словами, совокупность простых чисел бесконечна. Предложение 20 книги IX «Начал» гласит, что простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых; доказательство же этого предложения состоит в описании способа, позволяющего для любого списка простых чисел указать простое число, в этом списке не содержащееся. Отметим, что Евклид нигде не говорит о совокупности всех простых чисел в целом – само представление о бесконечных совокупностях как об особых сущностях появилось значительно позже.

Доказательство Евклида настолько просто и поучительно, что сейчас мы его воспроизведём. Итак, мы хотим убедиться, что невозможен такой конечный список чисел, который содержал бы все простые числа. Для этого возьмём какой угодно конечный список простых чисел (k, l, m, …, r, s, t) и найдём простое число, в нём отсутствующее; это будет означать, что простые числа не могут быть исчерпаны никаким конечным списком. Перемножим все числа нашего списка. Мы получим число k · l · m · … · r · s · t. Чтобы о нём говорить, как-нибудь его обозначим, например Q. Ясно, что это Q делится на каждое из чисел k, l, m, …, r, s, t нашего списка. Теперь посмотрим на число Q + 1. Оно больше единицы, а потому, как мы убедились выше, у него найдётся хотя бы один простой делитель. Обозначим буквой p какой-нибудь простой делитель числа Q + 1. Он не может совпадать ни с одним из чисел k, l, m, …, r, s, t, потому что тогда бы получалось, что на это p делятся два последовательных числа, а именно Q и Q + 1, что невозможно. Вот мы и нашли простое число, не входящее в наш список (k, l, m, …, r, s, t). Другое, уже не такое короткое, но весьма остроумное доказательство бесконечности ряда простых чисел принадлежит великому швейцарско-российскому математику Леонарду Эйлеру. Сказанное не вполне точно. Эйлеру не было нужды доказывать хорошо известный факт. Но он доказал одну теорему, содержание которой мы приведём ниже, а из неё этот факт немедленно вытекает. Поэтому мы позволим себе говорить о доказательстве Эйлера.

Доказательство Эйлера

Прежде всего условимся временно отказаться от нашего соглашения называть числами только положительные целые числа. Рассмотрим какую-либо конечную или бесконечную совокупность положительных чисел. Будем называть эту совокупность ограниченной сверху, если существует такое число, которое больше всех чисел, входящих в рассматриваемую совокупность. Всякое такое число будем называть верхним ограничителем этой совокупности. Ясно, что если наша совокупность конечна, то она ограничена сверху: в качестве верхнего ограничителя можно взять, например, сумму всех чисел, принадлежащих нашей совокупности. (Бесконечная совокупность чисел также может быть ограничена сверху, даже если её члены возрастают. Такова, например, совокупность {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …}. Действительно, одним из её верхних ограничителей является число 6. (Упражнение для читателя: какой из ограничителей этой совокупности является самым маленьким?) Предположим далее, что нам удалось расположить все числа исследуемой совокупности в виде конечной или бесконечной последовательности (A):

(A) a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ….

Если наша совокупность конечна, то последовательность (A) где-то оборвётся. Если же совокупность бесконечна, то последовательность (A) продолжается неограниченно. Будем теперь одну за другой образовывать суммы начальных членов этой последовательности: сначала образуем сумму двух первых членов, затем первых трёх и т. д., пока возможно. Процесс оборвётся, если конечна последовательность (А). Если же она бесконечна, процесс продолжится неограниченно. В итоге возникнет конечная или бесконечная последовательность (В):

(B) a₁ + a₂, a₁ + a₂ + a₃, a₁ + a₂ + a₃ + a₄, a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅, ….

Если совокупность всех членов последовательности (A) конечна, то совокупность всех членов последовательности (В) также конечна и, следовательно, ограничена сверху. Поэтому, если оказалось, что совокупность всех членов последовательности (B) не является ограниченной сверху, то она бесконечна, а значит, бесконечна и совокупность всех членов последовательности (A). В этом суть Эйлерова доказательства бесконечности ряда простых чисел. В качестве последовательности (A) берётся последовательность дробных чисел, обратных простым, т. е. последовательность дробей 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13 и т. д. Тогда в качестве последовательности (B) выступит последовательность сумм

1/2 + 1/3, 1/2 + 1/3 + 1/5, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, ….

В той своей теореме^[35], на которую мы здесь ссылаемся, Эйлер доказал, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху. Следовательно, она бесконечна. А значит, бесконечна совокупность {1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, …} всех дробей, обратных простым числам. Стало быть, бесконечна и сама совокупность простых чисел.

Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума. Оказалось, однако, что простые числа (особенно большие, требующие для своей записи сотен десятичных знаков простые числа) могут быть чрезвычайно полезны для решении многих практических задач защиты информации, в том числе криптографии. Тайнопись существовала уже во времена античности, а возможно, и раньше. Что касается России, то мне довелось видеть факсимильное воспроизведение документа XVII в., в котором говорилось о необходимости изобрести такое письмо, которое только его царскому величеству, и никому другому, было бы ведомо. Мальчишеское воображение всегда увлекала романтика шифров. Вспомним культовый советский сериал «Семнадцать мгновений весны», эту сказку для детей зрелого возраста. Её главный герой – штандартенфюрер Макс Отто фон Штирлиц, под каковым именем скрывается доблестный разведчик (шпион, с германской точки зрения) полковник Максим Максимович Исаев. Пользуясь конспиративным псевдонимом Юстас, Исаев отправляет шифрованные донесения Алексу. Не исключено, что тем же шифром пользуются и другие агенты Алекса. Теперь вообразим себе такую ситуацию. Шифр вот-вот будет разгадан противником, и узнавший об этом Алекс должен срочно сообщить всем своим агентам новый способ шифровки сообщений. В довершение бед Алекс лишен возможности отправить агентам шифрограммы (например, код, которым он пользуется, уже раскрыт). Казалось бы, положение совершенно безнадёжное. Однако в конце 1970-х гг. была предложена технология так называемого открытого ключа, позволяющая нынешним алексам публиковать новые инструкции по шифрованию совершенно открыто: например, в виде объявлений в средствах массовой информации. Инструкция состоит в указании двух чисел. Одно из них является произведением двух достаточно больших простых множителей, но сами эти множители разведцентр не объявляет, так что они не известны даже отправителям шифрованных сообщений. Подобный способ позволяет шифровать сообщение всякому, а вот расшифровать его смогут только в центре. Взломать код тем труднее, чем больше указанные множители.

Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, назовём две – проблему близнецов и проблему Гольдбаха.

Проблема близнецов

Заметим, что встречаются очень близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательно выписывать пары близнецов: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), …, (41; 43), …, (821; 823), …, (1 000 000 007; 1 000 000 009) и т. д. Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Наступит ли момент, когда будет выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)? Есть гипотеза, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы близнецов и есть проблема близнецов. Она не решена до сих пор, хотя с помощью компьютеров и найдены весьма большие близнецы. Рекорд на конец декабря 2011 г. – близнецы, содержащие по 200 700 десятичных знаков: это два простых числа, на единицу большее и на единицу меньшее произведения 3 756 801 695 685 · 2^{666 669}.

Попробуем решить её тем же методом, каким была установлена бесконечность совокупности простых чисел в доказательстве Эйлера. В качестве последовательности (A) возьмём последовательность чисел, обратных близнецам, т. е. последовательность дробей (1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, 1/17,…). В качестве (B) тогда возникнет последовательность сумм

1/3 + 1/5, 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13, ….

Если бы удалось обнаружить, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху, то это означало бы, что ряд близнецовых пар никогда не закончится, и проблема близнецов была бы решена. Такая надежда теплилась до 1919 г., когда норвежский математик Вигго Брун (Viggo Brun) доказал, что совокупность этих сумм ограничена сверху^[36]. «И прекрасно, – скажет иной читатель, – это также означает решение проблемы близнецов, но только с противоположным результатом: совокупность близнецов конечна». Однако такой вывод неправилен, что показывает следующий простой пример. Последовательность сумм

1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32, ….

ограничена сверху (наименьший ограничитель – число 1), но ряд степеней двойки (2, 4, 8, 16, 32 и т. д.) – бесконечен.

Итан Чжан и его открытие

Сенсационный прорыв в проблеме близнецов произошёл весной 2013 г. И совершил этот прорыв мало кому до того известный математик китайского происхождения, занимавший на тот момент более чем скромную должность в американском Университете Нью-Хэмпшира. Зовут этого математика Итан Чжан (Yitang Chang, а в стандартной латинской транслитерации пиньинь и с учётом того, что в китайском языке фамилия предшествует имени – Zhāng Yìtáng). В истории математики это редчайший случай, когда математик делает первое выдающееся открытие на пороге шестидесятилетия.

Итан Чжан родился в Шанхае в 1955 г. (более точной даты установить не удалось). Через 11 лет в Китае началась так называемая Великая пролетарская культурная революция – инициированный и управляемый лично Мао Цзэдуном хаос, сопровождавшийся погромами и нанёсший колоссальный урон культуре и образованию. Только в 1978 г., в двадцатитрёхлетнем возрасте, Чжан поступил в Пекинский университет, в стенах которого пребывал вплоть до присвоения ему магистерской степени в 1984 г., после чего он получил право на продолжение учёбы в престижном американском Университете Пердью. В этом университете Чжан обучался с января 1985 г. по декабрь 1991 г., когда стал доктором математики^[37].

А потом наступили тяжёлые времена. Чжан не сумел найти работу по специальности. Но он не отчаялся. Несколько лет он работал то в лавке, торгующей сэндвичами, то бухгалтером в ресторане, то разносчиком пиццы, то служащим мотеля. Только в 1999 г. Чжану удалось устроиться на временную работу преподавателя в Университете Нью-Хэмпшира. В этом качестве он в 2013 г. сделал одно из крупнейших открытий в теории чисел. Гром пошёл по пеклу, и Чжана тут же произвели в полные профессора, осыпали премиями^[38] и избрали членом Китайской академии наук.

Попробуем объяснить, что именно сделал Чжан.

Расстояние между n-м простым числом p(n) и ближайшим следующим простым числом p(n + 1), т. е. разность p(n + 1) – p(n), обозначим через r (n). Вот первые 12 членов последовательности, составленной из этих расстояний r(n):

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 6, 4.

Двойка встречается здесь пять раз; гипотеза близнецов состоит в том, что во всей бесконечной последовательности она встретится бесконечное число раз.

Насколько редко могут быть расположены простые числа? Иными словами, насколько велики могут быть числа r(n)? Оказывается, отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Вот типичная задача, часто предлагаемая в школьных кружках по математике: для произвольного числа n предъявить n подряд идущих чисел, ни одно из которых не является простым. Решение: надо взять числа (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, …, (n + 1)! + (n + 1). Каждое из этих n чисел составное: первое делится на 2, второе – на 3, третье – на 4 и т. д. Стало быть, расстояние между соседними простыми числами может быть сколь угодно велико.

При возрастании n среднее значение числа r(n) стремится к бесконечности. Это значит, что к бесконечности стремится дробь

Более того, в 1896 г. два знаменитых математика – француз Жак Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963) и бельгиец Шарль Жан Валле-Пуссен (Charles Jean Étienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, 1866–1962) – независимо друг от друга доказали, что s(n) стремится к бесконечности с той же скоростью, что и логарифм n: отношение s(n)/log(n) стремится к 1^[39]. Оставался открытым вопрос, не стремятся ли к бесконечности и сами члены последовательности r(n).

Нет, доказал в 2013 г. Чжан, члены последовательности r(n) к бесконечности не стремятся.

Из этого результата, полученного китайским исследователем, вытекает следствие, имеющее самое непосредственное отношение к проблеме близнецов. Коль скоро последовательность чисел r(n) не стремится к бесконечности, то существует число M, обладающее следующим свойством: количество натуральных чисел n, для которых r(n) ≤ M, бесконечно. Это бесконечное множество разбивается на конечное число подмножеств H_q = {n: r(n) = q}. Хотя бы одно из этих подмножеств бесконечно. А это значит, что существует бесконечное множество простых чисел, расстояние от которых до следующего равно в точности q. Всякое такое q естественно называть числом Чжана. Открытие китайского математика состояло в доказательстве того, что числа Чжана (разумеется, сам он их так не называл) существуют – до него это не было известно. Доказательство Чжана принадлежало к доказательствам чистого существования (см. сноску 35 о доказательстве Вигго Бруна): не было названо ни одного числа Чжана. Однако Чжан доказал, что хотя бы одно число Чжана существует в пределах первых 70 миллионов. К апрелю 2014 г. соединёнными усилиями различных математиков рубеж 70 000 000 удалось понизить до 246. Гипотеза близнецов состоит в том, что число 2 является числом Чжана.

Семнадцатого апреля 2013 г. статья Чжана под названием «Ограниченные промежутки между простыми числами» («Bounded gaps between primes»), излагающая его выдающийся результат, поступила в Annals of Mathematics – престижнейший математический журнал, издающийся совместно Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований (Institute for Advanced Study). Надо сказать, что поначалу статья неизвестного автора была встречена редакцией скептически. Однако рецензирование подтвердило её математическую безупречность, и в начале мая 2013 г. она была принята к печати, а опубликована в майском номере журнала за 2014 г. (т. 179, вып. 3, с. 1121–1174).

Проблема Гольдбаха

Она состоит в требовании доказать гипотезу Гольдбаха, которая в современном понимании сводится к тому, что каждое число, начиная с шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Справедливость этого утверждения для небольших чисел может проверить каждый: 6 = 2 + 2 + 2; 7 = 2 + 2 + 3; 8 = 2 + 3 + 3 и т. д. Но произвести проверку для всех чисел, как того требует гипотеза, конечно же, невозможно. Требуется какое-то иное доказательство, нежели просто проверка. Однако, несмотря на все старания, такое доказательство до сих пор не найдено.

Гипотеза была выдвинута в 1742 г. Христианом Гольдбахом в переписке с Леонардом Эйлером. Основная деятельность этих учёных протекала в России; Гольдбах был похоронен в Москве в 1764 г., а Эйлер – в Петербурге в 1783 г. Чем славен Эйлер, едва ли не самый продуктивный и один из самых великих математиков за всю историю человечества, легко узнать, если заглянуть, как в старые времена, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо. За информацией о нём придётся обратиться к специальной литературе или же провести разыскания в интернете. Между тем некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он являлся признанным членом математического сообщества своего времени. Был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем; его переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Ему писали охотно и содержательно. Лишь из письма к Гольдбаху знаменитого математика Даниила Бернулли от 28 мая 1728 г. мы узнаём о математических достижениях Василия Евдокимовича Ададурова (1709–1780), и только это сделало возможным появление статьи об Ададурове в биографическом разделе однотомного «Математического энциклопедического словаря». Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим… кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры…» В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. В России, куда он приехал в 1725 г. в возрасте 35 лет, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латыни) первые протоколы академии. С 1737 по 1740 г. он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю присвоили чин коллежского советника). В конце 1727 г. он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 г., применялось на практике в течение 100 последующих лет. В 1742 г. Гольдбах стал служить по ведомству Коллегии иностранных дел, получал награды, земли и чины и к 1760 г. дослужился до тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая его пожелания относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей должностями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г-на Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

На самом деле Гольдбах выдвинул гипотезу, очень похожую на ту, что носит его имя, но всё же отличную от неё^[40]. Дело в том, что в его терминологии к простым числам относилась и единица, которую в наши дни (и в нашей статье) к простым числам не относят.

Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.

Посмотрим, как обстоит дело с разбиением чисел на два простых слагаемых. Приступим к проверке, начав с 4 (числа 1, 2, 3 разбить так нельзя): 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 3 + 3; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 2 + 7; 10 = 5 + 5. Казалось бы, всё получается. Но вот на числе 11 мы спотыкаемся, его на два простых слагаемых разбить невозможно. Идём дальше: 12 = 5 + 7; 13 = 2 + 11; 14 = 7 + 7; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; на числе 17 опять заминка. Итак, мы быстро нашли два числа, которые не разбиваются на два простых слагаемых. Иной читатель скажет, что и не надо их разбивать на простые слагаемые, эти числа 11 и 17 уже сами простые. Но вот, скажем, числа 27 и 35 не являются простыми, а представить их в виде суммы двух простых слагаемых невозможно. Заметим, что все найденные нами числа, которые нельзя разбить на два простых слагаемых, нечётны. В неслучайности этого мы сейчас убедимся. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна. Поэтому если нечётное число есть сумма двух простых слагаемых, то одно из этих слагаемых чётно. Но чётных простых чисел всего одно: это число 2. Значит, само исходное число на 2 больше какого-то простого. Но если перебирать числа в порядке возрастания, то подобные числа будут встречаться всё реже и реже, потому что всё реже и реже будут встречаться простые числа.

Гипотезу о том, что всякое чётное число, начиная с четырёх, может быть представлено в виде суммы двух простых слагаемых, принято называть бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарную гипотезу выдвинул Эйлер в ответном письме Гольдбаху^[41]. Он заметил, что из бинарной гипотезы следует тернарная. Действительно, предположим, что бинарная гипотеза верна. Тогда для разложения числа n на три простых слагаемых надо сделать вот что. Если число n чётно, вычтем из него 2, если нечётно – вычтем 3. В обоих случаях получится чётное число, которое можно разложить на два простых слагаемых. Эти два слагаемых вкупе с вычтенной двойкой или тройкой и дадут искомое разложение. И наоборот, из тернарной гипотезы следует бинарная. Пусть тернарная гипотеза верна и требуется разложить чётное число n на два простых слагаемых. Поскольку n чётно, то n + 2 тоже чётно. Разложим его на три простых слагаемых. Если бы все эти слагаемые были нечётны, то и их сумма n + 2 была бы нечётна. Поэтому одно из слагаемых чётно и в силу того, что является простым числом, равно 2. Тогда остальные два слагаемых в сумме дадут n. Поэтому и бинарную, и тернарную гипотезу следует считать всего лишь различными формулировками одной и той же гипотезы – гипотезы Гольдбаха. Из сказанного вытекает, что есть только одна гипотеза Гольдбаха, имеющая различные эквивалентные формулировки.

К 1989 г. гипотеза Гольдбаха была доказана вплоть до гигантского числа, десятичная запись которого занимает около 43 тысяч знаков. Однако проблема Гольдбаха в её полном объёме остаётся нерешённой до сих пор, поскольку в ней говорится обо всех числах. Тернарную гипотезу Гольдбаха в применении к нечётным числам, т. е. гипотезу о том, что каждое нечётное число, начиная с семи, является суммой трёх простых чисел, принято называть слабой гипотезой Гольдбаха. Именно эта гипотеза привлекала наибольшее внимание исследователей. В 2013 г. произошло большое событие: Харальд Хельфготт, перуанец по рождению, американец по университетскому образованию и француз по месту современного жительства и работы, доказал слабую гипотезу Гольдбаха. До Хельфготта самого заметного успеха в этой области достиг советский математик И. М. Виноградов, доказавший, что каждое нечётное число, большее некоторой величины, является суммой трёх простых слагаемых. Однако названная величина оказалась астрономически велика, и потому проверить истинность гипотезы Гольдбаха для всех чисел, меньших этой величины, не представляется возможным.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что бывают и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.

Принято считать, что ранее всего – и по постановке, и по доказательству – была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Осторожные выражения «принято считать» и «приписываемая» означают, что затруднительно говорить как о бесспорных датировках, так и о бесспорном авторстве идей, относящихся к столь глубокой древности. Мы всё же будем придерживаться традиционной версии, достаточно правдоподобной.

Пифагор и пифагорейцы с их мистическим отношением к числам считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка и основой материального бытия. Их занимала мысль об универсальной единице длины, т. е. о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего они пришли к пониманию, что такого отрезка не существует. Это сейчас его отсутствие кажется очевидным, тогда же осознание сего факта было подлинным открытием. Но оставался вопрос, существует ли подобный отрезок-мера, не общий для всех отрезков сразу, а свой для каждых двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развёрнуто. Представим себе два каких-то отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из наших двух отрезков составляет треть первого, то этот второй отрезок и будет общей мерой: действительно, в первом отрезке он укладывается 3 раза, а во втором – 1. Отрезок, составляющий одну шестую первого отрезка, будет укладываться в нём 6 раз, а во втором – 2 раза, так что он также будет их общей мерой. Легко предъявить пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке 6 раз, а во втором – 5; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них 18, а в другом – 15 раз. Теперь спросим себя, для любых ли двух отрезков существует их общая мера. Ответ неочевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нём – его сторону и его диагональ, то окажется, что эта сторона и эта диагональ не имеют общей меры! Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы. А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Сегодня трудно себе представить силу эмоционального потрясения, испытанного, по дошедшим до нас из глубины веков сведениям, пифагорейцами, когда они обнаружили, что отрезки могут быть несоизмеримы. Рассказывают, что в благодарственную жертву богам они принесли около сотни быков (и с тех пор, как выразился кто-то, скоты всегда ревут, когда открывается новая истина). А ещё говорят, что пифагорейцы поклялись никому не сообщать о своём открытии. (И вот вам современная аналогия: по распространённому мнению, в наши дни велено скрывать от публики свидетельства о летающих тарелках. Я относил это мнение к числу предрассудков – и ошибался: в марте 2007 г. было объявлено, что Франция рассекречивает собиравшиеся десятилетиями данные о неопознанных летающих объектах.) По одной из легенд, возможно, придуманной самими пифагорейцами в острастку другим нарушителям, нашёлся преступивший клятву и был убит.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с современных позиций, по прошествии двух с половиной тысяч лет, можно усмотреть в нём два общекультурных аспекта. Первый заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то – в данном конкретном случае общей меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошёл один из самых принципиальных поворотов в интеллектуальном развитии человечества. В самом деле, доказать, что что-то существует, можно, предъявив это «что-то». Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для её опровержения достаточно было бы предъявить некоторый показатель степени и соответствующую ему тройку Ферма. Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое «что-то» заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. Но что делать, если искать наше «что-то» надлежит в совокупности необозримой? А именно эта ситуация и имеет место при поиске общей меры, ведь искать её приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственный способ: доказывать отсутствие не путём непосредственного наблюдения, а путём логического рассуждения. Его и применили пифагорейцы.

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали Пифагор и его ученики, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. До нас дошло чисто геометрическое и притом чрезвычайно изящное доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным, неизвестно^[42]. Сейчас, как правило, принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу из теории чисел. А именно: используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x² = y². (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения x и y дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а надо бы: этот пример демонстрирует и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x² = y². Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. Вот первая часть: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне x раз, а в диагонали – y раз; тогда по теореме Пифагора 2x² = y². А вот вторая часть: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x² = y², то по обратной теореме Пифагора треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие не только было значительным само по себе, но и проложило дорогу к пониманию и доказательству замечательного факта: уравнение может не иметь решений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решений (среди целых чисел, как в нашем примере, или среди действительных чисел, как уравнение x² = −1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x² = y² настолько просто, что доступно школьнику младших классов^[43]; боюсь, однако, в школах его не излагают.