Метод близкого квадрата использует формулы сокращенного умножения в другом виде. Для использования метода необходимо знать квадрат числа соседнего с искомым числом. Соседнее число, это число на единицу больше или меньше числа, для которого ищем квадрат. Если непонятно сейчас, то на примерах станет понятно.
Правило:
Чтобы найти квадрат следующего (предыдущего) числа, необходимо к квадрату предыдущего числа прибавить (отнять) число, которое у которого знали квадрат и само число, у которого ищем квадрат.
Метод близкого квадрата неудобно применять для чисел, оканчивающихся на цифры 3 и 7, так обычно немногие помнят или могут быстро подсчитать ближайшие квадраты.
Пример 1.
Необходимо найти 312, зная квадрат числа 30: 302=900
Здесь 31 следующее число после 30. 900 квадрат числа 30, который известен или его легко подсчитать очень быстро.
312=900+30+31=961
Пример 2.
Необходимо найти 292, зная квадрат числа 30: 302=900
Здесь 29 предыдущее число от 30, квадрат, которого известен. Так как нам нужно квадрат предыдущего, то мы отнимаем числа:
292=900-30-29=841
Доказательство.
Доказательство сразу получается, если формулы сокращенного умножения немного переформулировать, учитывая, что b=1
(a+1) 2=a2+2*a*1+12= a2+2*a+1=a2+a+ (a+1)
(a‒1) 2=a2—2*a*1+12= a2—2*a+1=a2‒a‒ (a‒1)
Получим, что a+1 и а-1, это число, которое нужно возвести в квадрат. Число а это число квадрат, которого известен а2.
На своих уроках я проделываю такой опыт. Выписываем все квадраты от 91 до 99. Квадраты можно посчитать различными способами (смотри соответствующие главы – Метод близкого квадрата, Формулы сокращенного умножения и др.):
912=8281
922=8464
932=8649
942=8836
952=9025
962=9216
972=9409
982=9604
992=9801
Далее даю задание ученикам: Как найти квадрат числа не прибегая к полному вычислению каким-либо способом. По-моему опыту с таким заданием справляются ученики 7—8 класса. Ученики подмечают, что ряд чисел, составленный из разрядов тысяч и сотен увеличивается на 2: 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98. В тоже время ряд чисел, составленный из разрядов десятков и единиц это полные квадраты убывающего ряда чисел (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1): 81, 64, 49, 36, 25, 16, 09, 04, 01.
Ещё немного подумав и отвечая на направляющие вопросы наконец самостоятельно находят способ как получать квадраты числа зная само число от 91 до 99. Совершив это маленькое открытие, они очень довольны собой и математика немного становится любимым предметом. А для кого-то эта красота мира чисел оказывает решающее значение и определяет выбор жизненного пути.
Для тех, кто не догадался о способах получения квадрата по числу от 91 до 99 приведу две формулы:
9Х2= (100‒ (10‒Х) *2) *100+ (10-Х) 2;
9Х2= (80+Х*2) *100+ (10-Х) 2
На самом деле формулы действительны для чисел от 90 до 99, но вычислять 90 таким способом слишком неоптимально. Поэтому число 90 исключено из этого промежутка. Вторая формула из представленных более предпочтительна.