Музыкальный инстинкт. Почему мы любим музыку

Смена тональности

Каким бы «естественным» ни казался пифагоров строй, он страдает от серьезного недостатка, даже от двух связанных между собой недостатков. Во-первых, мы начали с тезиса, что все гармонические звуки происходят из комбинации тонов с простым соотношением частот, но каким-то образом пришли к звукоряду, в котором содержатся соотношения высоты тона вроде 81/64 и 243/128, а это не кажется таким уж простым! Во-вторых, «большой» шаг пифагорова строя соответствует целому тону, а малые шаги – полутону. Значит, два малых шага должны в совокупности представлять то же, что и один большой шаг; но так не происходит! Повышение высоты на два полутона означает умножение частоты на (256/243)²!

И рождается пугающая дробь, которая не равна соотношению целого тона 9/8. Вообще, эти значения довольно близки, так что, может, нам не нужно беспокоиться? Но нет, беспокоиться нужно. Из-за этого несоответствия пифагорова система не может дать нам небольшой набор нот, из которых мы можем сочинять музыку, – вместо этого она дает бесконечное число нот.

Рис. 3.13 Все хроматические ноты в западной гамме можно найти через повторяющийся цикл квинт (а). В конечном счете восходящий цикл приводит нас к фа-диез, а нисходящий цикл – к соль-бемоль. На современном фортепиано эти ноты эквивалентны – они находятся на одной и той же клавише, что означает, что цепочка квинт замкнулась (б). Но в пифагорейской системе, где каждый шаг строго соответствует «математической» чистой квинте (с соотношением частот 3/2), фа-диез и соль-бемоль не совпадают: их частоты отличаются на фактор, известный как пифагорейская комма, равная примерно 1.01364. То есть цепочка не замыкается, а движется по спирали (с). Независимо от длины цепочки квинт, мы никогда не дойдем до точки соприкосновения и будем все время получать новые ноты.

Как это произошло? Мы увидели, что одним из способов конструирования пифагорейской гаммы служит последовательное движение вверх изначальной ноты (тоники) на чистую квинту. Исключение составляет четвертая нота гаммы, фа в тональности до, которую мы отыскиваем шагом вниз на чистую квинту от тоники (соотношение частот).

Если мы продолжим этот цикл квинт, то обнаружим ноты не мажорной гаммы, а хроматической. Квинта вверх от си приведет нас к фа-диез, квинта вниз от фа – к си-бемоль (соотношение частот 2⁴/3²:1 или 16/9), а затем последовательно к ми-бемоль, ля-бемоль, ре-бемоль и соль-бемоль (Рис. 3.13а).

Кризис налицо. На фортепианной клавиатуре фа-диез и соль-бемоль являются эквивалентными нотами: они обе играются одной и той же клавишей. Другими словами, фа-диез и соль-бемоль представляют собой точку, где так называемый цикл квинт, начатый с до, замыкается сам на себе в полный круг (Рис. 3.13б). Но в пифагоровом строе ноты фа-диез и соль-бемоль не одинаковы: фа-диез, к которой мы приходим восходящими шагами, обладает частотой 3⁶/2⁹ или 729/512 раз от до. А частота соль-бемоль, которую мы находим, двигаясь вниз, превосходит до на фактор 2¹⁰/3⁶ или 1024/729. Разница совсем небольшая: примерно 1.01364 или, если совершенно точно, соотношение 3¹²/2¹⁹; оно известно как пифагорейская комма.

У пифагорова строя цепочка квинт не замыкается. Мы можем продолжать этот цикл, двигаясь вверх и вниз на квинту, и никогда не найдем полностью совпадающие верхнюю и нижнюю ноты. Например, от фа-диез мы переходим к до-диез, затем к соль-диез. Эти ноты на современном фортепиано совпадают с ре-бемоль и ля-бемоль соответственно. Но в пифагоровом строе они отличаются на пифагорейскую комму. Цикл оказывается спиралью (Рис. 3.13с).

На самом деле проблема не так уж серьезна, если вся музыка написана в ограниченном числе тональностей, а проблемные ноты оказываются за пределами имеющихся тональностей и едва ли когда-нибудь встретятся. В Древней Греции и средневековой Европе не существовало системы тональностей, подобной современной системе в западной музыке (читайте далее: Тональность и тоника). В то время музыкальная палитра варьировалась посредством использования различных ладов, которые мы с некоторой натяжкой можем считать гаммами с одинаковым набором нот, но с началом в разных местах. В Средние века греческая система ладов четко оформилась в серию семинотных «гамм», ноты которых по сути соответствовали белым клавишам фортепиано. Один лад (дорийский) начинался с ре, фригийский с ми и так далее (см. Лады). Таким образом, каждый отдельный лад обладал своей последовательностью высот в «звукоряде». Гиполидийский лад звучит как наша мажорная гамма, а дорийский очень похож на одну из минорных. Остальные звучат определенно «странно для современного уха, если послушать их как гаммы.

Так называемые знаки альтерации – высокий и низкий вариант ноты – изначально были добавлены в систему ладов ситуативно, начиная с си-бемоль, к которой вскоре присоединилась фа-диез. Фактически именно это дало начало процессу смещения корневой ноты или, как мы бы сказали сейчас, транспонированию тональности; в результате одну и ту же мелодию можно сыграть или спеть с разной первой ноты. Если вы сыграете восходящую последовательность белых клавиш до, ре, ми, фа, соль на пианино и затем сместите эту же последовательность на начало с фа, то она будет звучать по-другому, если играть белыми клавишами: фа, соль, ля, си, до. Неправильной будет четвертая нота си, потому что в изначальной последовательности использовались шаги тон-тон-полутон-тон, а в смещенной последовательности они располагаются тон-тон-тон-полутон. Чтобы сохранить мелодию, мы должны понизить си на полутон и превратить ее в си-бемоль (Рис. 3.14). Добавляя знаки альтерации в оригинальную гамму, мы к тому же делаем возможным музыкальный процесс модуляции, то есть плавного перехода из одной тональности в другую. Рождественский гимн «We Three Kings» («Мы – три царя»), например, переходит из тональности ми минор в куплете в соль мажор в припеве. Модуляция стала основным признаком западной музыки начиная со времен барокко. Она является ключевым элементом, например, организованной схемы сонаты, где вступительная тема или «сюжет» повторяется в разных (но связанных между собой) тональностях.

Транспонирование и модуляция продиктовали необходимость появления нового звукоряда. Если смещение происходит за один шаг (вверх или вниз) в цепочке квинт, то нужна только одна новая нота: мажорная гамма соль включает только одну ноту (фа-диез), которая не встречается в мажорной гамме до, как и фа мажор (си-бемоль). С этими дополнениями все ноты в пифагоровом строе гаммы соль и фа мажор имеют одинаковое соотношение высот тона, как соответствующи ноты в до мажор. Приспособиться довольно легко. Но к началу эпохи Возрождения композиторы принялись экспериментировать с новыми тональностями, а точнее – стали использовать больше знаков альтерации, так как концепция тональности в ее нынешнем виде находилась еще в зачаточном состоянии. К четырнадцатому веку некоторые из этих экспериментов с хроматизмом были, если смотреть с точки зрения современных стандартов, весьма свободными. Иногда музыканты ставили альтерации не в соответствии с жесткой нотацией гаммы, а «causa pulchritudinis» («ради красоты») – они просто считали, что так мелодия звучит лучше. Некоторые из альтераций превратились в устойчивые формулы, подчас их даже не включали в партитуру: ожидалось, что исполнителям известны правила или они способны самостоятельно повышать или понижать ноту в тех местах, где это уместно. В таких композициях, как мадригалы итальянского композитора Карло Джезуальдо (ок. 1560—1613), хроматизм был доведен до такой маньеристической крайности, что для современного слушателя его произведения звучат невероятно странно.

Рис. 3.14 Восходящая гамма с до (слева) меняет последовательность шагов высоты тона (тон/полутон) при перемещении (транспонировании) на начальную фа (в середине). Оригинальная последовательность восстанавливается, если понизить четвертую ноту (си) на полутон, превратив ее в си-бемоль (справа).

Новые ноты, рожденные транспонированием и хроматизмом, можно также последовательно добавить в репертуар посредством принципа Пифагора, по которому мы генерировали гаммы соль и фа выше. То есть мы можем продолжить цикл вверх с шагом в чистую квинту, чтобы получить больше диезов, и вниз с таким же шагом, чтобы получить бемоли. Транспонирование мажорной гаммы из соль в ре дает новую ноту: до-диез. Переход от ре к ля добавляет ноту соль диез и так далее (Рис. 3.15). И снова этому разрастанию нот не видно конца, ведь последовательность не замыкается, когда мы доходим до фа-диез и соль-бемоль, и каждая отдельная нота в одном звукоряде отличается по частоте от своего аналога в другом. Несоответствие сохраняется по мере того, как мы переходим в тональность до-диез, соль-диез и так далее.

Фактически это означает, что правильно настроить фортепиано по пифагорову строю невозможно. Если настраивать ноты на основании восходящего цикла квинт к фа-диез, то окажется, что некоторые из них звучат фальшиво, когда на инструменте исполняют произведение в одной из тональностей, полученной после транспонирования вниз: шаги между следующими друг за другом нотами будут не совсем правильными. Несовпадение возникнет не только между фа-диез и соль-бемоль – все диезы будут отличаться частотой от эквивалентных им бемолей. Таким образом транспонирование и модуляция устроили беспорядок с настройкой: чем дальше мы уходим от «корневой» тональности, тем хуже звучит музыка. Чтобы избежать этой проблемы, необходима система настройки, которая «закрывается», а не «открывается» при транспонировании; то есть чтобы фа-диез и соль-бемоль превратились в одну ноту.

Рис. 3.15 Каждое транспонирование гаммы вверх на чистую квинту добавляет одну новую ноту (выделена серым).

 

Настройка

Первая альтернативная система настройки была рождена другим выявленным дефектом пифагоровой модели. Пифагорейцы видели подлинное «добро» в соседстве нот, частота которых определяется простым соотношением. В Средние века только октавы, квинты и кварты считались созвучиями благостной природы. Но в пятнадцатом веке музыка стала приобретать выраженные черты полифонии: появилась тенденция использовать несколько мелодичных голосов одновременно, что вызвало появление новых гармонических комбинаций нот. Более конкретно: интервалы терция (например, от до к ми) и секста (от до к ля) стали допустимы и считались достаточно благозвучными. Но пифагорова пропорция для терции (81/64) была уже сложной. Чтобы восстановить математическую консонансную простоту, эту пропорцию изменили до 80/64, что можно упростить до 5/4. Таким же образом секста из 27/16 изменилась до 25/15 или 5/3.

Этой системе в 1558 году придал официальный статус Джозеффо Царлино, хормейстер Собора святого Марка в Венеции. Он предложил следующую последовательность соотношений частот (здесь для до):

Система Царлино стала известна под названием «натуральный строй». Хотя ему удалось сохранить простые соотношения, возникли новые трудности. Небольшое смещение терции и сексты стало причиной появления двух разных шагов в «целый тон»: в одном две последующие ноты отличаются частотой на фактор 9/8 (здесь до-ре, фа-соль и ля-си), а в другом эта разница составила 10/9 (ре-ми, соль-ля). Более того, ни один из этих шагов не равен двум полутонам, так как разница полутонов (ми-фа, си-до’) равна 16/15. Коротко говоря, полнейшая галиматья.

Кроме того, натуральный или чистый строй совершенно не решает проблему транспонирования. На самом деле он ее только усугубляет, потому что каждое транспонирование на квинту дает две новые ноты вместо одной. Например, транспонирование гаммы от до до соль дает не только новую ноту фа-диез, но и еще ля, которая отличается от этой же ноты в тональности до. Разница частот является результатом несовпадения между двумя типами шагов в целый тон, 9/8 и 10/9, равняется 1.0125 и называется синтонической коммой.

Рис. 3.16 Клавиатура, изобретенная Мареном Мерсенном (а), и фисгармония Роберта Бозанкета (б) были разработаны с целью включить в октаву более двенадцати нот в рамках требований неравномерной темперации.

Примечательно, что теоретики музыки указанного периода решили жить с этой проблемой, хотя для инструментов с фиксированной высотой звука, таких как орган и клавесин, это означало появление дополнительных нот при различной настройке (музыканты, игравшие на струнных инструментах, могли приспособиться, точно определив место прижимания струны, хотя эта задача была серьезным испытанием их точности и ловкости). Клавиатура, которую в 1630-х годах изобрел французский математик Марен Мерсенн, включала тридцать одну ноту в диапазоне октавы, в том числе пятнадцать между фа и ля (Рис. 3.16а). Кажется, что на этом играть просто невозможно, хотя есть информация, что виртуозный Йозеф Гайдн якобы давал на таком инструменте концерты в Нидерландах. Другие системы настройки, которые появились за прошедшие века, предлагали еще более абсурдную градацию нот: фисгармония Бозанкета – инструмент с нетрадиционной настройкой, созданный в 1870-х годах по заказу ученого и теоретика музыки Роберта Холфорда Бозанкета, – имела 84 ноты в октаве (Рис. 3.17б).

Еще одним популярным решением неурядиц пифагорова строя был среднетоновый строй, который появился в начале пятнадцатого века. Он основан на том же методе прибавления нот через цепочку чистых квинт, но справляется с фундаментальной проблемой невозможности абсолютно точно вписать в целое число октавных шагов какого-либо количества шагов в чистую квинту: соотношение частот квинт намеренно уменьшалось относительно «идеальной» пропорции 3:2. Самый распространенный среднетоновый строй на четверть коммы был впервые описан в 1523 году флорентийским теоретиком музыки Пьетро Аароном. Аарон сократил каждую чистую квинту на ¼ синтонической коммы. Четыре шага укороченной квинты приводили к мажорной терции двумя октавами выше. Однако все квинты невозможно последовательно преобразовать таким способом: одна из них оказалась значительно «шире» и получила название волчий интервал (из-за высокого «воющего» звука). Кроме того, в октаве по-прежнему оставалось более двенадцати нот: диезы и бемоли не совпадали.

Решение всех этих проблем в принципе было достаточно ясным. Если октава просто делится на двенадцать равных хроматических шагов, каждый из которых состоит из полутона, то последовательность идентичных по высоте шагов, таких как последовательность мажорного звукоряда тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон, может начинаться с любой ноты и всегда звучать одинаково. Вопрос заключается в том, каким должен быть это базовый интервал? Не отрекаясь от идеи о каком-либо относительно простом соотношении частот, отец Галилео Галилея, Винченцо, который учился в традиции Царлино, в 1581 году предположил, что повышение полутона должно совпадать с увеличением частоты на фактор 18/17. Двенадцать таких шагов повышают первоначальную частоту примерно на 1.9855, что очень близко к идеальному фактору 2. Но это означало бы, что интервалы в октаву, квинту и кварту лишатся своих идеальных ценных качеств – они окажутся немного снижены, что было бы грубейшим оскорблением классической идеи о гармонии, поэтому предложение не было принято.

Нужно было точное решение проблемы; его открытие произошло практически одновременно в двух разных местах, в Китае и Голландии. Только один фактор, который умножается сам на себя двенадцать раз (по разу на каждый полутон), способен дать точное удвоение частоты, и это корень из двух в двенадцатой степени ¹²√2 или 2^1/12. Такое определение полутона давало более «идеальное» звучание квинт и кварт, чем предложенное Винченцо Галилеем соотношение 18/17: кварта больше тоники на фактор 1.3348 (по сравнению с пифагорейской 4/3 или 1,3333), а квинта на 1,4983 (по сравнению с 3/2 или 1,5).

Эта система называется равномерной темперацией. Впервые она была опубликована в 1584 году китайским ученым Чжу Цзайюем, принцем династии Мин, а фламандский математик Симон Стевин выдвинул ту же идею годом позже. Некоторые утверждают, что Стевин был знаком с концепцией Чжу, что вполне может быть правдой: с 1580 года каждые два года в португальской колонии Макао в дельте Жемчужной реки проходила торговая ярмарка, где европейцы и китайцы обменивались не только товарами, но и идеями; однако прямая связь между Чжу и Стевиным не установлена. В дальнейшем система равномерной темперации была развита в начале семнадцатого века Мерсенном, несмотря на его пристрастие к инструментам с натуральным строем.

Однако у системы равномерной темперации существует философский недостаток, ведь 2^1/12 не только сложное число, но еще и иррациональное, то есть его нельзя представить в виде дроби целых чисел. А как же гармоничная математика пифагорейской концепции музыки? Стевина это не тревожило. Что такого особенного в пифагоровой квинте, спрашивал он, если она ведет к полутону, основанному на жутком соотношении 256/243? С точки зрения математика 2^1/12 – весьма утонченная цифра, и если кто-то думает иначе, это его личные проблемы.

Множество людей с ним не соглашалось, а многие не согласны до сих пор: они настаивают, что система равномерной темперации нанесла ущерб «правильной» гармонии и заставила ее звучать грубо по сравнению с более ранними альтернативными вариантами строя. Герман фон Гельмгольц, немецкий физиолог, который в девятнадцатом веке стоял у истоков понимания акустики, утверждал, что равномерная темперация «неприятна для неиспорченного слуха». В самом деле, разницу между двумя системами нельзя было не заметить: интервал большая терция вызывал самые большие споры. В системе равномерной темперации он был выше почти на один процент, чем в чистом строе, а для большинства людей эта разница прекрасно слышна. Как мы вскоре убедимся, любые споры на тему «превосходства» одной системы настройки над другой лишены основания и в целом сводятся к разговорам о том, кто к чему больше привык.^[12]

Несколько других примеров «циклической» настройки, которые были предложены с начала шестнадцатого века, ставили перед собой цель замкнуть цепь квинт и таким образом позволить модуляцию в любую тональность без появления фальшивых нот. В угоду этой цели чаще всего страдали квинты: интервалы получались разной длины, обычно короче на белых клавишах и длиннее на черных. Немецкий теоретик музыки Андреас Веркмейстер предложил подобные схемы в конце семнадцатого века, назвав их «wohl temperiert» («хорошо темперированные»). Продолжаются споры и о том, написал ли И. С. Бах «Хорошо темперированный клавир» – сборник прелюдий и фуг во всех двадцати четырех мажорных и минорных тональностях – для хорошей темперации или для равномерной темперации. Как бы то ни было, его произведение демонстрировало преимущество замкнутой системы настройки, которая позволяла композитору в равной мере пользоваться всеми тональностями. Лучшей рекламы нельзя было вообразить, но даже она не смогла обеспечить всеобщего принятия равномерной темперации вплоть до девятнадцатого века.

Задача до сих пор остается нерешенной: математически невозможно найти какой-либо строй, который можно модулировать в любую тональность с сохранением соотношения простой пропорции частот, таких как чистая квинта, кварта и октава. Ученый-акустик Уильям Сетарес предложил гениальное решение, которое пользуется произвольными способами настройки электронных инструментов. Он разработал алгоритм Adaptun, который позволяет электронной клавиатуре адаптировать свой строй в режиме реального времени нота за нотой, чтобы найти «идеальные» интервалы в любой момент музыки. Для использования алгоритма не нужно обладать знаниями о тональности музыки – программа просто находит наилучший вариант «частной настройки» для каждой комбинации нот. Вы можете прослушать результат работы Adaptun на сайте Сетареса и на CD http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/.

Аккорд из одной ноты

Очевидно, что попытки свести европейскую музыкальную гамму к чистой математике – и таким образом отыскать «натуральный» базис музыки – быстро привели к новым проблемам. Существует, однако, интересный способ построения гамм с точки зрения такого направления физики, как акустика. Как и «гармоничную пропорцию» Пифагора, ее столь же упорно и столь же опрометчиво приводили в качестве доказательства превосходства диатонической шкалы в течение нескольких сотен лет.

Тональность характеризуется двумя музыкальными структурами: гаммой и трезвучием, состоящим из нот 1,3 и 5: до-ми-соль в до мажор. В комбинации или пермутации эти три ноты звучат гармонично: они как будто «подходят» друг к другу.^[13]

Трезвучие – настолько знакомый элемент музыкального аппарата, что легко можно забыть о его не вполне правильном сочетании с точки зрения пифагорова строя. По Пифагору самые «консонантные» интервалы состоят из нот с простым соотношением частот. Этому положению соответствует наличие соль – чистой квинты – в аккорде до мажор, а также тот факт, что с прибавлением октавы до’ можно получить большой мажорный аккорд: до-ми-соль-до’ (если удвоить начальную до, то получится начало фолк-стандарта «On Top of Old Smokey»). Но по системе Пифагора в аккорде должна появиться фа (с соотношением 4:3 к до), а не ми (с соотношением 81:64 в пифагоровом строе). Почему же в данном случае предпочтение было отдано терции, а не чистой кварте?

На этом моменте я вынужден признаться, что до сих пор скрывал от вас жизненно важную информацию. На это у меня была уважительная причина: эта информация невозможно усложнила бы построенную нами конструкцию из музыкальных нот и тонов с определенными частотами. Правда заключается в том, что вы никогда в жизни не слышали этих нот. Получить их очень тяжело и в принципе это стало возможно только с развитием электронного звукоизвлечения. Звуки, которые состоят из одной акустической частоты, не встречаются в естественной природе, как не существует ни одного традиционного музыкального инструмента, который мог бы их воспроизводить (хотя надо признать, что некоторые из них довольно близки к этому).

Если вы тронете гитарную струну, проведете смычком по струне скрипки, нажмете клавишу фортепиано или подуете во флейту или в трубу, вы создадите не только вибрацию воздуха на одной частоте. Резонирующая струна или корпус генерируют сложную комбинацию частот, каждая из которых является самой низкой частотой, умноженной на целое число. Например, колеблющаяся струна не только поддерживает волну с длиной волны, равной длине струны, но также колеблется на половину длины волны (на удвоенной частоте), на треть (утроенная частота), на четверть и так далее. Все, что нужно, – это чтобы целое число длины волн уместилось на длине струны (Рис. 3.17). Самая низкая частота называется основной. Она обычно самая громкая: большая часть акустической энергии звука направлена на звук этой высоты. Более высокие звуки называются обертонами или гармоническими призвуками (здесь легко запутаться: основная частота фактически является первым гармоническим призвуком, однако тон с удвоенной основной частотой называется первый обертон).

На самом деле инструмент производит десятки обертонов (Рис. 3.18), но не все легко обнаружить, так как они последовательно слабеют по мере возрастания их частоты. Вы можете обнаружить некоторые гармонические призвуки фортепианной клавиши, если сыграете ее с нажатой демпферной педалью, опускающей все другие струны, и послушаете, какие высокие струны вибрируют одновременно с ней. Ноты, представляющие собой комбинацию основной частоты и обертонов, называются сложными тонами. Точное сочетание обертонов – это один из факторов, определяющих характер звука или тембр инструмента. Серия звуков разной высоты в сложном тоне называется натуральным звукорядом (Рис. 3.19а).

Рис. 3.17 Гармонические призвуки: основная частота и обертоны с длиной волны, которая сокращается на факторы 1/2, 1/3, 1/4… Соответствующие частоты увеличиваются на фактор 2, 3, 4 …

Наличие обертонов означает, что каждая нота, сыгранная на музыкальном инструменте или спетая и услышанная нами, на самом деле представляет собой аккорд, пусть мы и слышим его не таким, какой он есть; наши уши и мозг сговорились совмещать все гармонические призвуки в один слышимый тон.

Это объясняет, почему две ноты на расстоянии в октаву звучат почти «одинаково». Первый обертон на октаву выше основной частоты, так как интервал в октаву происходит из-за удвоения частоты. Наш мозг создает ощущение похожести, возможно, в качестве эволюционного ответа на гармоническую сложность всех естественных звуков (не только звуков музыкальных инструментов), при этом первый обертон – удвоенная частота – обычно самый сильный. Мозг классифицирует первый обертон как звук с таким же «привкусом», что и основная частота, поэтому они легко могут смешаться в один воспринимаемый сигнал: необходимо некоторое усилие и практика, чтобы услышать «октавный» обертон, хотя мы замечает разницу в качестве звука, если его переместили. Это помогает нам интерпретировать две частоты как порождения одного источника, а не стремиться напрасно искать два разных источника звука.

Рис. 3.18 Типичные обертоны частотного спектра.

Рис. 3.19 (а) Натуральный звукоряд основной частоты (f) от до. Числа обозначают обертоны – добавьте 1 для получения соответствующего порядкового номера гармонического призвука. Знак минуса здесь показывает небольшое расстраивание по отношению к означенной первоначальной ноте. (б) Мажорное трезвучие от до. Все ноты в этом аккорде представлены в первых четырех обертонах.

Я думаю, что существует «натуральная» основа построения музыкальной гаммы вокруг октавы: это единица континуума акустических частот, которая вложена в нейросенсорное восприятие. На самом деле почти все музыкальные системы мира созданы вокруг октав и их эквивалентов. Единственным тщательно изученным исключением является музыка некоторых групп австралийских аборигенов.

Второй обертон отстоит на октаву плюс квинту от основной частоты: например, для основной частоты до первой октавы второй обертон – соль второй октавы. Таким образом, интервал в квинту тоже должен звучать «подходящим» образом, если две ноты сыграть вместе, и в самом деле, квинты используются в большинстве музыкальных звукорядов. Но все же интервал не всегда «подходящий»: даже ко второму обертону след натурального звукоряда в структуре музыкальной гаммы начинает пропадать.

Третий обертон – это еще одна октава, и он, по всей видимости, должен усиливать тенденцию октавного тождества. Четвертый располагается на мажорное трезвучие выше – например, для до первой октавы это ми третьей октавы. Обратите внимание, что это не большая терция пифагорова строя; соотношение частот по отношению к ближайшей тонике составляет 5:4 в чистом строе. Затем идет еще одна квинта (в нашем случае соль третьей октавы). Получается, что первые шесть компонентов натурального звукоряда являются компонентами мажорного трезвучия (Рис. 3.19б).^[14]

Мозг конвертирует «аккорд», состоящий из этих обертонов, не в несколько одновременно звучащих нот, а в тембр: смесь гармонических призвуков дает характерное звуковое качество тому, что воспринимается как один звук. И тем не менее, когда две разные ноты действительно играют одновременно, сразу две клавиши на фортепиано, мы на самом деле услышим два звука, даже если они являются нотами мажорного трезвучия. Судя по всему, мозгу достаточно отчетливой последовательности обертонов, присущей каждой из двух нот, чтобы определить их как звуки из разных источников: он умеет не допускать «слияния» двух основных нот в один голос, потому что способен различать два набора гармонических призвуков. Но позже мы также увидим, что это ментальное разделение источников является ненадежным, и что музыкантам нужно пользоваться более тщательно продуманными стратегиями, чтобы не допустить неосторожного слияния гармоничных нот.

Мозг упорно настаивает на «связывании» обертонов в один четко различимый звук. Если один из гармонических призвуков расстроить с помощью электронных манипуляций, то наша когнитивная система сначала будет отчаянно пытаться решить проблему расстроенного гармонического призвука, разыскивая новую основную частоту, которая «подходит», даже если ее не существует: то, что мы слышим, не расстроенный гармонический призвук, а звук с другой высотой. Только когда расстройка будет достаточно большой для того, чтобы оставить поиски компромиссов, мозг признает поражение и примет «плохой» гармонический призвук как отдельный звук. Некоторые перкуссионные инструменты естественным образом производят обертоны, частоты которых не являются идеальным умножением основной частоты, – большинство колоколов, например, обладает такой характеристикой. Мозг не может найти простую схему смешивания обертонов в один звук, в результате у тона появляется неопределенная высота, а мы не можем точно сказать, что за нота звучит; такие звуки называют негармоничными. Дебюсси пытался воссоздать неопределенность высоты колокольного звука в композиции для фортепиано «Затонувший собор», где играются две группы из двух нот, до и ре в «диссонирующем» интервале большая секунда на расстоянии октавы (Рис. 3.20). Плохо сочетающиеся друг с другом пары гармонических призвуков создают нарушающий гармонию эффект.

Рис. 3.20 В «Затонувшем соборе» Дебюсси использует диссонанс, чтобы подражать негармоничному звуку колокола.

Гармонические призвуки продолжаются за пределами трезвучий первых шести компонентов. Седьмой может вас удивить, потому что это так называемая бемольная или минорная септима: для до это си-бемоль (или скорее очень близкая по звучанию к ней нота в зависимости от того, какая система настройки используется). Она не участвует в мажорной гамме, но тем не менее отстаивает свое естественное, хотя и отдаленное родство с тоникой. Если вы вставите си-бемоль в мелодию в до мажор, то она будет звучать неуместно – точнее так, как будто вот-вот что-то случится. Мелодия зависает на пороге тональности фа, потому что си-бемоль находиться в гамме фа мажор. Таким образом минорная септима звукоряда – это общеупотребительная точка модуляции тональности.

Натуральный звукоряд создает альтернативу циклу квинт для построения «математического» звукоряда от основной частоты или тоники, предоставляя «натуральное» основание для мажорного трезвучия западной музыки. Эту идею в в 1722 году выдвинул французский композитор и теоретик Жан-Филипп Рамо в «Трактате о гармонии». Он использовал математику натурального звукоряда, чтобы вывести фундаментальные законы музыкальной композиции на основании того, что считал естественными отношениями между нотами.