Как на основе этих же вероятностей вычислить теоретические коэффициенты 1-2 или money lines. В ставках на ‘денежную линию’ при ничьей происходит возврат суммы ставки. Поэтому если мы будем ставить на исход 1, то получим в среднем P₁*K_П1*V + P_X*V, что должно быть равно V.

Аналогичные рассуждения справедливы для ставок на исход 2. Поэтому:

P₁*K_П₁ + P_X = 1

P₂*K_П₂ + P_X = 1

Отсюда K_П₁ = (1-P_X)/P₁ = (K_X-1)*K₁/K_X .

Но K_X = 1/(1-1/K₁-1/K₂) = (K₁*K₂)/(K₁*K₂-K₁-K₂)

K_X-1 = (K₁+K₂)/( K₁*K₂-K₁-K₂)

K_П₁ = (K₁+K₂)/K₂

K_П₂ = (K₁+K₂)/K₁

Нам буду также необходимы формулы, дающие выражения для коэффициентов для фор -0.25 и +0.25 – они также легко выводятся из коэффициентов K₁,K_X.

Обозначим K_F₁коэффициент на фору -0.25. Тогда формула баланса выигрыша-проигрыша будет

P₁*K_F₁ + P_X/2 = 1

так как в случае ничьей мы получаем возврат половины ставки.

Отсюда K_F₁ = (1-P_X/2)/P₁ = (2*K_X-1)*K₁/(2*K_X )= K₁_*(1-1/(2*K_X))

Аналогично K_F₂ = (1-P_X/2)/P₂ = (2*K_X-1)*K₂/(2*K_X = K₂_*(1-1/(2* K_X))

Теперь обозначим K_F₁коэффициент на фору +0.25. Тогда формула баланса выигрыша-проигрыша будет

P₁*K_F₁ + P_X*K_F₁/2 + P_X/2 = 1

Отсюда

K_F₁ = (1– P_X/2)/( P₁ + P_X/2)

Это практически все, что лежит на поверхности и как-то используется при анализе арбитражных ситуаций. Сведения, которые приводятся дальше, не используются повсеместно при анализе вилочных ситуаций. Но приводятся здесь для полноты освещения вопроса.

Одним из широко-используемых предположений является предположение о том, что количество голов забитых командой в матче подчиняется распределению Пуассона. Согласно распределению Пуассона вероятность того, что команда забьет m голов, равна

P(m) = (L**m)*exp(-L)/m!, где L – это параметр распределения Пуассона.

Одно из свойств этого распределения дает нам, что этот параметр равен среднему этого распределения – в данном случае среднему количеству голов забитому командой. Ясно, что этот параметр характеризует способность команды забивать голы и зависит не только от команды, но и от игры. То есть от второй команды и условий игры. Если известны параметры L₁ и L₂ обеих команд, то вычисление вероятностей практически всех основных исходов используемых букмекерскими конторами является делом техники, которую мы и рассмотрим ниже.

Очевидно, что вероятность ничьей равна сумме вероятностей всех возможных ничейных результатов

P_X = P₁(0)*P₂(0)+ P₁(1)*P₂(1)+ P₁(2)*P₂(2)+ P₁(3)*P₂(3)+….

Вероятности P₁(m) и P₂(m) вычисляются по распределению Пуассона. Точно также вероятность победы первой команды являются суммой вероятностей всеx ‘победных’ для первой команды комбинаций исходов:

P₁ = P₁(1)*P₂(0) + [P₁(2)*P₂(0) + P₁(2)*P₂(1)] + [P₁(3)*P₂(0) + P₁(3)*P₂(1) + P₁(3)*P₂(2)] …

Сумма вообще-то бесконечная, но для практических целей можно ограничиться конечным числом членов, разным для разных видов спорта. Аналогично вычисляется вероятность победы второй команды. Похожими суммами определяются вероятности исходов с различными форами и тоталами. Нужно лишь правильно скомбинировать суммы произведений вероятностей всех вариантов результата игры, которые приводят к нужной форе или нужному тоталу.

Как видно, для вычисления вероятностей исходов по Пуассону нужно знать параметры L распределения Пуассона для каждой команды, которые равны среднему ожидаемому количеству голов, которое забьет каждая команда. Понятно, что оценка этих параметров ничуть не более легкая задача, чем вычисление вероятностей победы одной из команд и вероятностей ничьи.

Однако, даже не умея оценивать параметры распределения Пуассона, можно извлечь из этой модели определенную пользу. А именно, с помощью распределения Пуассона можно перевести вероятности победы одной из команд и вероятности ничьей в вероятности всех вариантов форы и тотала. Для этого нужно уметь решать обратную задачу – по вероятностям победы одной из команд и вероятности ничьей вычислять параметры L распределения Пуассона для каждой команды. Задача непростая и аналитически не решается. Решается она с использованием численных методов решения нелинейных уравнений.

6. Условия вилочности

Далее по тексту используются имена событий, которые для игроков, делающих ставки на спорт, является привычными и вполне понятными – 1, X, 2X, и т д. Они были определены в разделе “Основные понятия”. Поскольку ставка на чистую победу в линиях 1-2 (money lines) и 1-X-2 (3-Way lines) отличаются по сути (в первом случае при ничьей – возврат) и могут быть использованы в одной и той же вилке, то, для того, чтобы была возможность их отличить будем далее исходы 1,2 в линии 1-2 обозначать П₁ и П₂ соответственно, а исходы 1,2 в лини 1-X-2 как 1 и 2 соответственно. Событие F₁(0) означает победу первой команды с форой 0, то есть чистую победу первой команды. В ставках с форой при ничьей (с учетом форы) происходит возврат денег. Поэтому П₁ эквивалентно F₁(0). Ставка на событие F₁(-0.5) выигрывает при выигрыше первой команды и проигрывает при ничьей или проигрыше первой команды. Поэтому оно эквивалентно событию 1. Таким образом, во всех вилках 1 может быть заменено (вместе с коэффициентом, естественно) на F₁(-0.5). Событие – ставка на F₁(+0.5) – выигрывает при ничьей и победе первой команды, поэтому это событие эквивалентно 1X и может быть использовано в вилочных формулах аналогичным образом.

Сначала мы рассмотрим случай, когда при реализации одного исхода, все суммы, поставленные на другие исходы “сгорают”. Одна так бывает не всегда, что показывает случай вилки типа F₁(0)-X-2 и других подобных вилок. Мы можем делать ставки на события и, либо проигрывать, либо получать выигрыш. Возможен также вариант, когда мы ничего не проигрываем и не выигрываем – то есть, имеем возврат (денег). Каждой событие имеет свой коэффициент выигрыша: K_i >= 1, i =1,N. Если коэффициент K_i > 1, то при реализации этого исхода у нас будет чистая прибыль V_i*(K_i-1), где V_i сумма нашей ставки. Если K_i = 1, то это случай возврата денег, такие коэффициенты не присутствуют в линиях букмекерских контор (но подразумеваются для исходов не входящих в условие ставки). Допустим, мы ставим на каждый исход игры сумму V_i, i=1,N. Как будет ясно из дальнейшего хода анализа, при наличии вилки мы будем вынуждены делать ставки на все события (исходы игры) входящие в наш список (который зависит от типа вилки).

Поскольку, делая ставки, мы хотим выигрывать деньги, то есть, получать больше чем поставили, и хотим, чтобы это было при любом возможном исходе игры (в этом состоит суть “вилки”), то мы получаем систему неравенств “прибыльности”:

Ki *V_i > V₁+V₂+…V_N = V, i=1,N (С₁)

Она означает, что каждый (любой) возможный выигрыш по каждому исходу игры (Ki*Vi) должен покрывать все наши расходы на все исходы ставки, включая те, которые не сыграли, то есть общие расходы, равные V. Естественно, что коэффициенты, удовлетворяющие данным условиям нельзя найти в одной букмекерской конторе, таких контор должно быть минимум две. Перепишем эти неравенства как

K_i*D_i > 1, где D_i = V_i/V, часть полной суммы проставленная на данный исход.

Возникает вопрос как из этой системы неравенств определить, дает ли данный набор коэффициентов возможность получить нам прибыль хотя бы при одном варианте распределения общей суммы ставки по возможным исходам.

Так как все K_i>1>0, то систему неравенств можно (разделив на K_i) переписать как

D_i > 1/K_i, i=1,N

Складывая правые и левые части всех этих неравенств, получаем

D₁+D₂+…+D_N >1/K₁ + 1/K₂ + … + 1/K_N

Но D₁+D₂+…+D_N = V₁/V+V₂/V +… V_N/V = (V₁+V₂+…V_N)/V = V/V = 1, поэтому мы получаем условие, которому должны удовлетворять коэффициенты событий (исходов игры):

1/K₁ + 1/K₂ + … + 1/K_N < 1 (С₂)

Условие получено без каких-либо предположений о способе разбиения общей суммы по исходам, а значит справедливо для всех без исключения вариантов. В силу изложенного выше вывода это условие является НЕОБХОДИМЫМ для существования “вилки”. Так как если вилка существует (удовлетворяются все исходные “прибыльные” неравенства), то в силу вывода коэффициенты K_i, i=1,N будут удовлетворять последнему соотношению.