Весь последующий материал, фактически можно использовать и в коротких, и в длинных. Но книга посвящена длинным нардам и больше материала будет по нардгаммону.
Посмотрите сами – насколько небольшие отличия в таблицах (в процентах MWC).
Вычисление решений по кубу удвоения.
Как это ни удивительно, но можно просто вычислить, когда нужно ставить куб и как ответить на выставленный соперником куб. И мы сейчас это подробно разберем.
Согласно главному принципу, куб нам должен дать при выигрыше больше, чем отнимет при проигрыше. А сколько мы получаем и сколько теряем, – нам поможет выяснить MET.
Когда мы ставим куб, мы должны уметь посчитать (прикинуть, оценить, знать, помнить – в зависимости от степени подготовленности, опыта и знания теории) как изменятся шансы на выигрыш матча, если выиграть с кубом или проиграть с кубом. Помните – «игра не стоит свеч»? Так вот, – всегда надо понимать, сколько стоят «свечи» и сколько стоит «игра».
Этим мы дальше и займемся.
Прибыли и убытки куба.
Понятия прибыль и убыток, которые мы получим от постановки куба становятся совсем простыми и понятными, когда мы взглянем на MET.
Если выиграть ойн без куба, мы получим один MWC, а если с кубом – другой, больше. Вот эта разница и есть прибыль куба.
Точно так же, убыток куба – это разница между MWC проигрыша с кубом и проигрыша без куба.
Для лучшего понимания посмотрим несколько примеров:
Счет 3-1 до 5
Переводим в обратный счет: 2Away – 4 Away (игроку осталось до победы 2 очка, сопернику 4 очка)
Смотрим таблицу:
Теперь по шагам:
Шаг 1.
Шансы на выигрыш MWC при счете 2Away-4Away равны 69,6% Обведено зеленым. Это точка отсчета. По-другому мы это можем записать так: W2,4= 69.6
Это значение в расчетах прибылей и убытков никогда не участвует. Оно нужно только для позиционирования счета в таблице и приведено просто для лучшего понимания дальнейших расчетов.
Шаг 2.
При выигрыше без куба счет станет 1Away – 4Away (игроку останется 1 очко до победы, сопернику 4) или в прямом счете 4-1 до 5. MWC станет 83,2% (выше на клетку, обведено черным). W1,4 = 83.2
Шаг 3.
При выигрыше с кубом счет станет 0Away – 4Away (игрок выиграл матч) или в прямом счете 5-1 до 5 (победа в матче). MWC станет 100% (выше на клетку переместиться нельзя, но мы знаем, что победа это 100%, на рисунке обведено красным). W0,4 = 100
Шаг 4. Прибыль
Вычисляем «прибыль куба» как разницу
Прибыль = W0,4 – W1,4 = 100 – 83,2 = 16,8 (%)
Шаг 5.
При проигрыше без куба счет станет 2Away – 3Away (игроку останется 2 очка до победы, сопернику 3) или в прямом счете 3-2 до 5. MWC станет 60,9% (левее на клетку от точки отсчета, обведено черным). W2,3 = 60,9
Шаг 6.
При проигрыше с кубом счет станет 2Away – 2Away (игроку останется 2 очко до победы, сопернику тоже 2) или в прямом счете 3-3 до 5 (ничейный счет в матче). MWC станет 50% (левее на 2 клетки от точки отсчета, обведено синим). W2,2 = 50
Шаг 7. Убыток
Вычисляем «прибыль куба» как разницу
Убыток = W2,3 – W2,2 = 60,9 – 50 = 9,1 (%)
ИТОГО:
При счете 2Away-4Away (3-1 до 5):
Прибыль 16,8 убыток 9,1
Еще один пример.
Счет 5-2 до 9
Переводим в обратный счет: 4Away – 7 Away (игроку осталось до победы 4 очка, сопернику 7 очков)
Смотрим таблицу:
Теперь по шагам:
Шаг 1.
Шансы на выигрыш MWC при счете 4Away-7Away равны 72,2% Обведено зеленым. Это точка отсчета. По-другому мы это можем записать так: W4,7 = 72,2
Шаг 2.
При выигрыше без куба счет станет 3Away – 7Away (игроку останется 3 очка до победы, сопернику 7) или в прямом счете 6-2 до 9. MWC станет 78,7% (выше на клетку от точки отсчета, обведено черным). W3,7 = 78,7
Шаг 3.
При выигрыше с кубом счет станет 2Away – 7Away (игроку останется 2 очка до победы, сопернику 7) или в прямом счете 7-2 до 9 (победа в матче). MWC станет 86,4% (выше на клетку от точки отсчета, обведено красным). W2,7 = 86,4
Шаг 4. Прибыль
Вычисляем «прибыль куба» как разницу
Прибыль = W2,7 – W3,7 = 86,4 – 78,7 = 7,7 (%)
Шаг 5.
При проигрыше без куба счет станет 4Away – 6Away (игроку останется 2 очка до победы, сопернику 6) или в прямом счете 5-3 до 9. MWC станет 65,9% (левее на клетку от точки отсчета, обведено черным). W4,6 = 65,9
Шаг 6.
При проигрыше с кубом счет станет 4Away – 5Away (игроку останется 4 очка до победы, сопернику 5 очков) или в прямом счете 5-4 до 9 (ничейный счет в матче). MWC станет 59% (левее на 2 клетки от точки отсчета, обведено синим). W4,5 = 59
Шаг 7. Убыток
Вычисляем «прибыль куба» как разницу
Убыток = W4,6 – W4,5 = 65,9 – 59 = 6,9 (%)
ИТОГО:
При счете 4Away-7Away (5-2 до 9)
Прибыль 7,7 убыток 6,9
Понятия прибыли и убытка куба не являются сложными понятиями и не имеют самостоятельного значения. Они нужны только для определения других важных величин, которые мы рассмотрим после того, как разберем особенности понятий, с которыми уже познакомились.
Разница между GWC, MWC, эквити и шансами.
Эти несколько понятий следует различать и знать особенности каждого. Без этих понятий, без правильного понимания, что это такое, мы не сможем дальше разбираться в теории куба.
Начнем с самого простого. С формы:
GWC – это набор чисел, вероятностей выиграть или проиграть матч. Набор – это значит, как минимум 2 числа. В долях или процентах. Например: вероятность (шансы) выиграть гейм равна 43%, а проиграть 57%. Вроде бы можно было одним числом ограничиться, потому что второе в сумме должно дать 100%. Но, во-первых, в классике с ничьей, есть еще ничейный исход и тогда уже три числа. А, во-вторых, суть от этого не меняется: все равно это два числа, даже если нет ничьи. И, в-третьих, есть еще марсы и еще в коротких нардах коксы. Тогда GWC превращается в набор из 4 чисел для длинных и из 6 чисел для коротких.
Давайте посмотрим, как изображает GWC программа Логосай:
Возьмем конкретную ситуацию на доске:
Теперь посмотрим, как изображает GWC экстримгаммон (ХГ2):
Возьмем конкретную позицию в гейме:
Как вы видите, форма GWC – это набор чисел. А конкретно шансов выиграть данный гейм.
Именно гейм, а не матч. Поэтому первая буква G – Game (игра, партия, гейм).
Вторая особенность GWC – она не зависит от счета в матче. GWC не привязано к ситуации в матче – совсем.
Третья особенность GWC – она не зависит от выставленных кубов. Никак!
Четвертая особенность – только на основании шансов на выигрыш, нельзя сделать выбор решения по кубу. Нужно еще несколько расчетов, в частности, надо найти эквити. Его можно вычислить.
Но, при этом, без шансов (без GWC) невозможно ничего посчитать. GWC лежит в основе всех без исключения вычислений, необходимых для принятия решений по кубу и для выбора правильного хода. И не надо путать GWC и базовое эквити (Cubeless equity). Это разные понятия.
MWC – это одно число. Причем число, полученное путем вычислений из данных GWC. Это вероятность выиграть матч. Но это не единственное отличие от GWC. MWC – это эквити. По нему можно вычислять прибыли и убытки куба. И MWC позволяет вычислять ориентиры для принятия решений в игре по кубу.
И здесь надо отдельно разобрать еще один важный аспект, касающийся MWC.
Часто, упоминая MWC и таблицу, сформированную из разных для разного счета величин MWC, мы слышим утверждение, что таблица (MET) является константой, т.е. значения в таблице не зависят от позиции на доске. И это действительно так! Но утверждать, что MWC вообще не зависит от позиции на доске – большая ошибка.
А как правильно ? Давайте наведем ясность. Вспомним еще раз, что эквити матча и есть MWC. И надо различать два разных эквити матча:
– Эквити матча (MWC) в ходе игры в данном гейме. Назовем ее текущим значением MWC или MWC позиции.
– Эквити матча (MWC) в ходе игры, когда очередной гейм завершен, а новый еще не начат. Назовем эту величину табличной.
MWC в ходе гейма – величина переменная и зависит в значительной мере от позиции на доске, существенно зависит от числа на кубе и от счета.
А вторая MWC именно, что табличная. Ее можно вычислить заранее, до любой игры и занести в таблицу. Именно так и созданы таблицы Казароса и Логосая.
Текущее значение MWC можно вычислить, зная счет и величину куба, на основании значений GWC. Чуть ниже мы подробно разберем, как это можно сделать.
И еще один важный нюанс. Многих путает разница между эквити и эквити матча (MWC). Для того, чтобы не путаться, всегда привязывайте понятие «эквити» к чему-то конкретному:
– Если к позиции – тогда базовое эквити или Cubeless Equity;
– Если к гейму (партии) – тогда эквити гейма или Cubeful Equity;
– Если к матчу, то эквити матча, оно же MWC.
В отличие от табличного MWC, которое является константой и записано в MET, чтобы получить текущее значение MWC, надо «нормализовать» эквити гейма, пересчитать его в текущее MWC или его еще можно назвать MWC позиции.
Обратите внимание. Эквити гейма может быть больше 1, сигнализируя о наличии ситуации ТуГуд (TooGood = TG), а MWC всегда между 0 и 100% или в долях от 0 до 1.
Различие машинного и человеческого подходов.
Общепринято, что в вопросах принятия решений по кубу, надо полагаться на оценку программы (Логосай, ХГ, ГНУ). Но, здесь есть один важный момент, который следует хорошо себе представлять: компьютер и человек принимают решения по кубу, основываясь на разных методиках.
Способ первый. Используется программами (ХГ2 и Логосай).
Как «решает куб» программа?
Она вычисляет четыре значения MWC:
MWC позиции перед броском зар, если не ставить куб;
MWC в случае паса на выставленный куб;
MWC позиции при выставленном кубе.
MWC позиции в случае редабла на следующем ходе.
А потом сравнивает эти значения.
Почему – сейчас выясним.
Давайте разберемся, как программа вычисляет MWC позиции. Мы достаточно хорошо понимаем, что такое GWC – это шансы на выигрыш этого гейма. Тут все понятно. 1000 раз играем эту позицию и смотрим сколько раз кто и как выигрывает, потом делим на 1000 и переводим в %%. Например, 572 раза выиграли белые, из них 172 раза марсом, 428 раз выиграли черные, из них 47 раз марсом. Шансы: 57,2% выигрыш, 42,8% проигрыш. В данном гейме, в котором мы смотрим позицию. Позиция , вообще, всегда бывает только в гейме.
А MWC – это шансы выиграть весь матч. Не этот гейм. И как быть? Играть с этой позиции до окончания матча? Да. Много-много раз. Потом делить и переводить в %% Надо понимать, что, доиграв гейм, мы просто начнем новый гейм и ТАМ уже наша нынешняя позиция никак не может повлиять на результаты. Так и происходит разделение на факторы, зависящие от позиции на доске и на факторы, не зависящие.
MET, который мы уже хорошо изучили, поможет заметно упростить нам задачу. В этом одна из ее ценностей.
Главное в МЕТ то, что она нам дает уже известную величину MWC (табличную) при любом счете. И, когда мы доиграли гейм, получили его результат, а также счет в матче, сразу стало известно каковы шансы в матче, т.е. MWC.
Т.е. зная GWC (шансы на выигрыш в текущем гейме), можно вычислить MWC данной позиции. Наличие куба, при точно таком же исходе гейма, приведет к другому счету, а значит и к другому MWC. Так мы определим MWC позиции при выставленном кубе и тейке. Еще проще с пасом. Счет при пасе нам известен, значит и MWC тоже.
Начнем с описательной формулы, не чисто математической:
MWC(позиции) = GWC(позиции) · MET(данного счета)
Это значит, что шансы, полученные в анализе гейма (GWC) надо перемножить с шансами, стоящими в соответствующих ячейках MET и сложить. Получим MWC данной позиции.
В более строгом, чисто математическом виде это выглядит так:
Находим по таблице, например, Казароса, MWC, соответствующие разным исходам гейма:
Формула, в ее наиболее полном виде, выглядит довольно громоздко и не так легко в ней сразу разобраться. Чтобы лучше понять смысл, давайте формулу возьмем в ее частном виде. На какое-то время забудем про марсы и коксы.
Тогда формула будет выглядеть достаточно просто и понятно:
MWCпозиции= (Шансы выиграть матч со счета, который будет, если выиграть данный гейм) · (Вероятность выиграть данный гейм) + (Шансы выиграть матч со счета, который будет, если проиграть данный гейм) · (Вероятность проиграть данный гейм)
Шансы выиграть матч с разных счетов в матче мы берем из MET. Это шансы, хорошо известные, посчитанные давно, никак не зависящие от позиции в текущем гейме, именно поэтому их можно назвать табличными. Шансы выиграть/проиграть данный гейм – это игроки должны оценить сами, и они отражаются в величинах, входящих в состав GWC.
Эта формула .связывает позицию на доске с ситуацией в матче
Она очень наглядно показывает, – для правильной игры нужно не только хорошо понимать, что в данный момент происходит «на доске» (в гейме), но и то, где вы находитесь в матче, какие у вас численные ориентиры на победу, в пределах чего идет игра в данном гейме.
Ситуация в матче может влиять и на выбор хода (иногда даже на выбор первого хода в гейме) и на тактику в гейме и на стратегию в матче. Ну и, само собой, влияет на выбор решения по кубу.
Обратите внимание – у нас теперь есть две разных величины. Одна из них это GWC (содержит в себе 4 числа вероятностей выиграть/проиграть – для длинных нард и 6 для коротких), а другая – , которая представляет собой одно число (% вероятности выиграть матч). Формула (4) устанавливает между ними прямую связь.
Теперь мы сможем понять, что делает компьютер для принятия решения по кубу.
Компьютеру все эти числа посчитать не трудно.
Потом он эти числа сравнивает и выбирает тот вариант, когда после принятия решения станет самым большим из всех возможных.
Посмотрим подробнее:
Если больше хотя бы одного из остальных, куб ставить нельзя. Это потому, что куб передается сопернику и тот может сказать пас, а может тейк, а еще может сразу после тейка сделать редабл.
Т.е. правильный куб, это когда – меньше всех остальных.
Отсюда следует, что, если вам предложили удвоение, то соперника увеличится в любом случае, а наш (игрока) уменьшится в любом случае. Тогда остается понять какой из меньше – по тому и принимать решение. Если – меньше тейка и редабла, то пасуем. Если меньше всех , то принимаем куб и больше не поворачиваем. Если же больше и паса и тейка, то принимаем, но обязательно делаем редабл. Иначе решение будет неверным.
Важно: В схеме выше программа вычисляет MWC игрока, который решает – ставить куб или нет.
Теперь посмотрим схему решения программы по пасу/тейку.
Важно: В этой схеме вычисляется MWC игрока, который решает – тейк или пас.
Так работает программа.
Так не может работать человек, если только он не математический феномен, – «человек-счетчик». Потому, что, даже если игрок выучил МЕТ наизусть, остается еще:
a) Корректно «прикинуть» 6 чисел для GWC (4 числа в длинных нардах, без кокса);
b) Вспомнить 6 разных чисел из таблицы Казароса (или 4 из Логосая);
c) Перемножить все это и сложить;
d) Потом ВСЁ ЭТО проделать еще 3 раза, чтобы получить 4 разных и сравнить друг с другом.
Для живого человека – нереально. Нерешаемая задача.
А как быть игроку? Как успеть в ходе, в темпе игры, принимать верные решения?
Есть другой подход к принятию решений по кубу.
Давайте разберем его в подробностях.
Способ второй. Ориентиры для решений по кубу.
Второй способ основан на том, что в любой матчевой ситуации есть некие ориентиры, по которым можно правильно проложить путь.
Таких важных ориентиров для принятия решений по кубу в ходе игры – несколько.
Что такое ориентиры? Это те вещи, события, числа, позиции, по которым можно быстро понять ситуацию в матче и быстро принять решение в каком направлении двигаться. Как маяк в море, ориентирует корабли – куда дальше плыть.
Все это звучит очень образно и абстрактно. Но, на самом деле, есть ориентиры в матче, знание которых может дать совершенно конкретные подсказки в решениях по кубу.
Их, в действительности, всего два, самых важных:
– Точка минимального удвоения (дабла) – MDP (Minimum Doubling Point)
– Точка сброса – DP (Drop Point)
Мы выше говорили о том, что решения по кубу определяются как конкретной позицией на доске в данный момент игры, так и ситуацией в матче (счетом в матче).
Чем меньше шансы в гейме, тем меньше смысла в постановке куба и тем больше смысла сказать пас, в случае куба соперника. И, наоборот, чем больше шансы на выигрыш в гейме, тем выгоднее объявлять удвоение (дабл) и тем более выгодно сказать тейк на выставленный куб.
Давайте еще раз посмотрим схему даблов и тейков в зависимости от базового эквити:
Обратите внимание, что здесь есть четкие границы между областями дабл/пас и дабл/тейк. Это (положительное) эквити +0,5. И есть граница между ноудабл и дабл, это эквити ноль. Мы выше уже говорили, что эти точки определяют для игрока – когда принимать решения. Но, тоже вспомним, все это только для манигейма до постановки куба. Потому, что мы рассматривали базовое эквити.
Для матча тоже есть такие ориентиры. Есть такие шансы в гейме, при которых и пас и тейк приводят к одинаковому эквити матча, т.е. к одинаковому MWC (шансы выиграть матч).
Это и есть наши ориентиры. Но не в гейме, а в матче. Эти 2 важные «точки» называются:
– (минимальная точка дабла)
– (точка сброса, она же точка паса, она же точка тейка).
Почему точка? Причем тут вообще какая-то точка? А потому, что эти точки образуются на оси непрерывных значений эквити от -3 (проигрыш коксом) до +3 (выигрыш коксом). В длинных нардах от -2 (проигрыш марсом) до +2 (выигрыш марсом).
DP (точка сброса) – это некое значение шансов в гейме, при котором пас и тейк дают одинаковый результат (одинаковое эквити матча) и нет разницы, принять куб или сказать пас.
От нулевых шансов в гейме до DP игрок должен сказать пас на выставленный куб. Это выгоднее, чем принимать куб.
При шансах выше DP игрок должен принимать выставленный куб. Это выгоднее, чем пасовать.
Как видите – знание одного ориентира позволит вам в быстро понять тейк или пас.
Есть такие шансы в гейме, при которых удвоение ни уменьшает MWC, ни его не увеличивает. Это MDP. Зато при шансах выше MDP куб выгоднее, чем игра без куба. Значит надо ставить куб. Зная MDP, мы всегда будем знать – ставить куб или не ставить. А зная DP легко поймете, тейк или пас.
Вроде бы, все так просто! Но, обязательно обратите внимание на несколько обстоятельств, в которых путаются даже опытные игроки, изучая литературу по принятию решений по кубу.
Минимальная точка удвоения. MDP. Дроп пойнт (он же тейк пойнт, он же пас пойнт). DP. Формулы расчета.
Формулы расчетов хорошо известны и не представляют никаких сложностей в применении.
MDP и DP вычисляются по той же формуле, но прибыль и убыток определяются для них по-разному. Эта формула играет важную роль в расчетах (вычислениях) решений по кубу.
Пусть счет в матче a Away (игрок) – b Away (соперник). Выигрывая, мы движемся вверх по таблице, а проигрывая влево.
Вспомним схему прибылей и убытков:
Для формул MWC будем обозначать буквой W с индексами по счету в матче.
Обозначим MWC (шансы на выигрыш матча) этого счета в матче как Wab.
Тогда: минимальный дабл пойнт (Minimum Doubling Point = MDP)
Дроп пойнт (Drop Point = DP) точно по той же формуле (5)
Формула для обоих ориентиров одна и та же. А в чем разница? В том, что и с чем мы сравниваем для определения прибыли и убытка.
В формуле MDP мы сравниваем результаты после завершения гейма: результат (MWC) без куба с результатом (MWC) с кубом. А конкретно:
Выигрыш без куба сравниваем с выигрышем с кубом. Выигрыш с кубом будет больше, чем выигрыш без куба. Разница будет прибылью куба. В случае проигрыша с кубом проигрыш будет больше, чем без куба. Эта разница и есть убыток куба.
В формуле DP мы сравниваем результаты гейма при тейке и при пасе, т.к. куб соперник уже выставил. При выигрыше гейма на тейке мы получаем разницу с пасом – это прибыль тейка. А при проигрыше на тейке, получаем тоже разницу с пасом, но это убыток тейка.
А дальше формула одна: убыток делим на сумму убытка и прибыли.
Анализ влияния факторов на принятие решений по кубу удвоения.
Существование факторов, не зависящих от конкретной позиции на доске, является очень важным для правильного понимания игры. Эти факторы имеют целый ряд особенностей. Но, самое главное, они корректны и применимы только в строго определенных условиях. И эти условия, границы применимости определенных факторов необходимо знать. В первую очередь, надо знать границы применимости ориентиров (MDP и DP). Надо уметь их правильно применять для практических целей.
Давайте разберем эти самые границы применимости. Когда знание MDP и DP может помочь корректно принимать решения по кубу, а когда надо будет держать в уме еще какие-то параметры и значения. А для этого надо проанализировать основные факторы, влияющие на принятие решений по кубу.
Ситуация в матче. Конкретно – счет в матче. Для учета этого фактора вычисляются таблицы вероятностей выиграть матч (MWC – Match Winning Chance) в %% или долях единицы – для каждого обратного счета в матче (Away-Away). Вспомним, что Away по-английски прочь, уйти, долой – сколько очков осталось до победы в матче. Таблицы называются MET (Match Equity Table – таблица эквити матча). Тут все ясно. Таблицы вычислены ХГ2 для коротких нард и Логосаем для длинных. Они известны. И найти их можно, в том числе, и в этой книге.