Некоторые замечания по аксиомам в математике.
Вслед за основными понятиями формулируются основные аксиомы, которые принимаются без доказательства. Аксиомами называются исходные или первоначальные предложения, на основе которых доказываются другие предложения в виде теорем. Считается, что в аксиомах утверждается существование некоторого основного объекта или дается описание отношений между основными понятиями. Это соответствует тому, что есть реальные первичные объекты и первичные действия над ними, поэтому аксиомы следует подразделять на аксиомы существования и аксиомы отношений.
Такого подразделения в современных аксиомах не наблюдается. Кроме того, первичные объекты имеют какую-то размерность и форму. Следовательно, аксиомы бывают четырех видов: аксиомы существования, аксиомы отношений, аксиомы размерности и аксиомы формы.
Каждый из этих видов аксиом представляют собой систему. Чтобы сразу можно было отличить одни аксиомы от других, начинаться они должны соответствующим образом. Например, аксиомы существования должны начинаться словом «Существует…». Какую структуру имеют системы аксиом, можно проследить на тех же аксиомах существования.
Аксиомы существования.
1. Аксиомы существования первичных понятий.
а) Существует неопределимое понятие «множество» такое, какое определено как первичное понятие в математике.
b) Существует неопределимое понятие «координатная ось» такое, какое определено как бесконечная область существования множества.
с) Существует неопределимое понятие «нуль» такое, какое определено как начало координатной оси, но числом не является.
d) Существует неопределимое понятие «относительное пространство» такое, какое определено как область существования подчиненного множества.
2. Аксиомы существования определенных чисел.
а) Существует число «нуль» такое, какое определено как начало числовой оси.
b) Существует число 1 такое, какое определено как мера количества элементов множества.
c) Существуют определенные числа n такие, какие больше числа 1.
d) Существует такое число, какое больше всех остальных определенных чисел и определено как их предел.
3. Аксиомы существования неопределенных чисел.
а) Существуют неопределенные числа такие, какие больше предела определенных чисел, но их при необходимости можно пересчитать.
b) Существует такое неопределенное число, какое больше всех остальных неопределенных чисел и определено как их предел.
c) Существуют неопределенные числа такие, какие пересчитать невозможно и они определены, как бесконечно большие числа.
d) Существует такое неопределенное число, какое больше всех остальных бесконечно больших чисел и определено как граница множества.
4. Аксиомы существования относительных чисел.
а) Существуют относительные числа такие, какие меньше единицы и определены как дробные.
b) Существуют относительные числа такие, какие являются неопределенными.
c) Существуют относительные числа такие, какие являются бесконечно малыми.
d) Существует относительное число «нуль» такое, какое определено как начало числовой оси.
Сущность системы единичных математических объектов.
Систему математических объектов представляют копии физических объектов. Множества (M) отображают совокупность реальных единичных объектов. Комплекс (K) является единым объектом, состоящим из двух частей. Вектор (R) отображает фазовые состояния реальных совокупностей объектов, представляющих единое множество, и состоят из трех частей (координат). Тензоры (T) представляют собой последовательность четырех отображений. Для лучшего их различия обозначения удобно выделить разными шрифтами.
Здесь представлены хорошо известные в математике объекты. Некоторого из них требуют систематизации в соответствии с физической сущностью реальных объектов. И начать, очевидно, следует с мироздания, которое представляет бесконечно больше неопределенное множество с самыми разнообразными (неопределенными) элементами. Это можно обозначить как M ̃(е ̃ ).
Когда речь идет о бесконечности, необходимо различать ее виды.
Абсолютная бесконечность – это неопределенная количественная характеристика области существования мироздания с центром посредине. Ее можно назвать неопределенная, или, как выразился Гегель, «дурная» бесконечность Она недоступна нашему сознанию и его не имеет смысла обсуждать. Альтернатива бесконечности – это нуль. Бесконечно большое количество бывает, а бесконечно малого количества не бывает.
Если бесконечность имеет количественный смысл, то бесконечно большие и бесконечно малые величины имеют размерный смысл. Это могут быть физические объекты соответствующих размеров, а могут быть величины. Бесконечно большими объектами нам представляются космические самые большие макросистемы, а бесконечно малыми – наименьшие в природе единичные теплоносители энергетической среды.
Бесконечно большие и бесконечно малые величины, как пары, имеют иерархическую зависимость. В природе существует три иерархических уровня. Первый уровень: галактика – волновой объект космических излучений (космический квант, как основа атомов), второй уровень: атом – волновой объект атомарных излучений (атомарный квант, как основа биологических объектов), третий уровень: первичный биологический объект – волновой объект биологических излучений (биологический квант, который «растворяется» в энергетической среде).
Одна бесконечность может быть отображена в другой и даже отображать сама себя, как это делают бесконечно малые биоорганизмы, которые воспроизводят сами себя. Бесконечно малые единичные элементы флоры отображают бесконечно большие множества атомов. Бесконечно малые элементы фауны отображают движения бесконечно больших механических объектов, а сознание человека отображает энергетическую среду и использует ее свойства при мышлении. Трудно представить, какая это малость этот бесконечно малый объект. Но он реален. Следовательно, бесконечности могут четырежды отображаться в другие бесконечности. Это уровни бесконечных величин. Не случайно в математике существуют производные высших порядков.
Таким образом, можно говорить о системе бесконечностей. Основа – неопределенная бесконечность. Пары бесконечно малых и бесконечно больших объектов, как отображений. Иерархические бесконечные величины. Бесконечные величины высших порядков.
Существует мнение, что мироздание существует в пустоте. Если это так, то неопределенное множество имеет неопределенную область существования – пространство, как аналог пустоты. Пространство является неопределенной мерой. Именно пространство характеризуется понятиями «бесконечность» и «нуль». Как одно, так и другое недоступно нашему пониманию.
Понятие «пространство» оказалось очень удобным средством измерения. Во-первых, в бесконечном пространстве можно измерить большие и даже бесконечно большие объекты мироздания. Во-вторых, его изотропность с центром посередине позволяет осуществлять измерения в любых направлениях и под любым углом. В-третьих, его равномерность является идеальным для применения любой шкалы измерений. И, наконец, в-четвертых, наблюдатель может выбрать любую точку отсчета для своей системы координат.
Если абсолютные неопределенности «бесконечность» и «нуль». перемножить, то появляется некоторая определенность для наблюдателя в виде виртуальной (нематериальной) единицы как относительной точки отсчета в качестве центра любого единичного материального объекта. Понятие центра имеет двойственный характер, как, своего рода, связь идеального с реальным. С одной стороны, это нематериальная (виртуальная) точка, а с другой стороны, каждый материальный объект имеет свой реальный центр.
Конечно, в математике действие умножение считается неприменимым не только к бесконечности, но и к любой неопределенности, так же, как и другие действия. Но эти действия являются арифметическими, т.е. применимыми только к определенным математическим объектам (цифрам). Это арифметика. Но ведь существует и алгебра, которая имеет дело и с определенными, и с неопределенными объектами, но в нее почему-то автоматически перенесли только арифметические действия. Неопределенные объекты требуют неопределенных действий.
Поэтому, объединяя известные и неизвестные обозначения, можно систематизировать определенные и неопределенные действия (табл. Х). В таблице приведены хорошо известные, а также непривычные для математиков обозначения и наименования. Последние носят предварительный характер и могут быть изменены.
Таблица Х.
Систематизация определенных и неопределенных математических действий.
По отношению к комплексам математики, видимо, чувствовали, что такой объект необходим. Не случайно появились комплексные числа, комплексные переменные, ковариантные и контравариантные вектора и некоторые другие объекты, которые выполняют некоторые функции комплекса, но до его сути не добрались.
Что такое комплекс? В Википедии можно прочитать, что ко́мплекс (лат. complex – связь, сочетание; complexus – соединение) – совокупность чего-либо, объединённого вместе, имеющего общее предназначение.
В принципе, все правильно. Это единое целое, состоящее из двух частей. Только надо иметь в виду одну особенность комплекса, обе части находятся в равновесии, но, если одна величина увеличивается за счет внешнего воздействия, то другая настолько же уменьшается и наоборот.
Целостность комплекс при этом не изменяется, а равновесие частей восстанавливается после прекращения внешнего воздействия. Обе части изменяются в одном и том же месте (объекте) и одновременно. Именно это отличает его от вектора, составляющие которого находятся в разных местах и не могут изменяться одновременно.
У всех математических объектов есть два одинаковых момента: все они являются множествами, и у всех у них имеются единичные элементы. И то, и другое – константы (инварианты). Изменяется лишь количество единичных элементов и величины составляющих частей.
Это означает, что все объекты остаются неизменными при изменении координат. Поскольку такое свойство является главным для тензоров, то все объекты можно назвать тензорами, которые различаются количеством координат (составляющих).
У множества только одна координата – количество элементов, поэтому оно тензор первого порядка. У комплекса две координаты, поэтому он тензор второго порядка. Вектор имеет три координаты, поэтому он тензор третьего порядка. Сам тензор имеет четвертый порядок, поскольку у него четыре координаты.
Если объединить бесконечно большое количество бесконечно малых объектов, то получится бесконечно большая единица (объект). А бесконечно большое количество бесконечно больших единиц образует бесконечное множество. Имеет место полная аналогия с физической средой. Бесконечно большое количество бесконечно малых энергоносителей образуют бесконечно большую галактику, а бесконечно большое количество галактик образуют Вселенную.
И здесь можно говорить о неопределенном умножении. На этот раз перемножаются неопределенные неоднородности: величина и количество. Однако, когда единичный элемент перемножается на неопределенное количество, получается однородная неопределенность.
Когда речь идет о единичном теплоносителе, то возникает понимание массы, которой он обладает. Масса единичного теплоносителя является основой метрической системы как минимальная физическая единица. Масса любого объекта выражается произведением массы единичного теплоносителя на их количество в объекте, где количество является средством измерения. Это означает, что и количество, и единица измерения являются элементом меры.
Все физические объекты мироздания имеют количественные характеристики: единицу и множество таких единиц, определяемых величину параметра. В этом и заключается смысл философской категории «количество», и, естественно, категория «мера» включает в себя «количество».
Иной смысл у единиц пространства и времени, хотя они тоже определяются количеством единиц измерения. Это прерогатива категории «мера». Любой объект мироздания определяется местом в пространстве и временем, следовательно, эти два понятия являются составляющими системы мер.
Все теплоносители находятся в пустоте, которая характеризуется пространством. Практически то же самое можно сказать и о времени, как о мере всех процессов, происходящих в мироздании. Вращение единичного элемента определяется абсолютным временем. Так же, как и в пространстве. С этой виртуальной единицей можно связать движение наименьшего в природе материального единичного теплоносителя тепловой среды, как наименьшей (бесконечно малой) единицы.
Таким образом, абсолютное время мироздания является одномерным. Оно не может ни замедляться, ни ускоряться, как это утверждается в теории относительности. Оно равномерно. А вот для наблюдателя, для которого время отсчета начинается с относительного нуля, время двумерно. Количество материи не может одновременно уменьшаться и увеличиваться. Либо то, либо другое. А обмен между внутренним содержанием и внешним полем одного и того же объекта может происходить одновременно. Для этого у объекта имеются специальные органы. Это и есть двумерность.
Единичный теплоноситель, обладающий массой, находится одновременно во вращении и поступательном перемещении, характеризуется равными соответствующими количествами теплового движения.
Объем этого перемещения при повороте равен площади поперечного сечения на длину окружности с половинным радиусом. Следовательно, единицей минимальной протяженности пространства является эта длина окружности. Поскольку количество движения при вращении и при поступательном перемещении одинаково, то одинаковым должен быть объем для обоих видов движения. Вращение определяет внутреннюю теплоту, а перемещения – внешнюю.
Эти процессы, осуществляемые в единицу времени, представляют собой движущие силы вращения и перемещения. Этим силам противостоят силы сопротивления или реакции. Силы вращения, осуществленного на определенный угол, создают моменты вращения и сопротивления, а силы перемещения, осуществленного на определенное расстояние, создают работу соответствующее ей сопротивление.
Обобщенным параметром обоих видов движения, совершаемых одновременно, является тепловая энергия, определяемая как произведение массы на половину произведения окружной и линейной скоростей. Окружная скорость на половине радиуса, которая равна половине окружной скорости на экваторе элемента, и линейная скорость равны между собой, поэтому энергия определяется по классической формуле, как произведение массы на половину квадрата скорости. При этом надо всегда иметь в виду, что это не одна какая-то скорость, а две перемноженные равные, но разные скорости.
Всякий объект обладает внутренней массой и массой внешнего поля. Количество внешних и внутренних теплоносителей должно быть равным. Увеличение количества одного уменьшает количество другого. Отклонение от этого равновесия вызывает немедленное выравнивание. Разница в один теплоноситель является единицей отклонения. Максимальная разница не может быть больше половины всех энергоносителей.
Общее количество теплоносителей в объекте является постоянным. Увеличение этого количества сопровождается его уменьшением, т.е. поглощение равно излучению. Один поглощенный или излученный теплоноситель является единицей изменения массы объекта.
Поскольку поглощается и излучается не один теплоноситель, то объект формирует волну, которая превращается в последовательную цепочку квантов. Кванты превращаются в фотоны, а фотоны образуют частицу атома. Так космический объект порождает точную копию атомной частицы, а единичный теплоноситель становится единицей массы волны, которая является источником преобразования.
Отрицательные и положительные энергоносители проявляют свои действия одновременно, поскольку существуют вместе, а их соотношение определяет общий знак энергетического поля или потока. Это означает, что наблюдатель в данный момент времени может находиться в относительной временной точке, т.е. в точке относительного нуля. У него было прошлое, есть настоящее, и будет будущее. Это уже трехмерность.
Если один и тот же биологический объект претерпевает преобразования на разных временных этапах в виде зарождения, развития, размножения и отмирания, то это пример четырехмерности. Эти этапы тоже не могут происходить одновременно.
Время – это понятие, которое применяется как средство измерения процессов в мироздании. Одним из этих процессов является изменение количества массы. Ее изменение на один теплоноситель в единицу времени является единицей скорости изменения массы, а единица времени, за которую изменилась масса на один теплоноситель является единицей быстроты изменения массы. В первом случае характеризуется изменение массы за определенный промежуток времени, а во втором – время, за которое изменится определенное количество массы. Это не одно и то же, и определяются эти характеристики обратными соотношениями.
У всех множеств есть его дополнение, которое используется, когда надо знать и текущую величину множества, и величину дополнения до предела существования этого множества . Это одномерный комплекс.
Вращательное и поступательное движения имеют свои относительные единицы времени (на рис Х справа). У разных объектов они могут быть разные, но приведенные к абсолютному времени. Это двумерный комплекс.
Рисунок Х Физический смысл комплексных единиц.
Движение всегда связано не только с временными, но и с пространственными параметрами. Пространство же следует рассматривать как внешнюю протяженность, и как внутреннюю размерность. Протяженность может быть прямой, в виде плоской или криволинейной траектории движения. Траектории характеризуются направлениями. Это трехмерная размерность пространства.
Для внутреннего пространства существует четырехмерность параметров. Это одномерные размеры, двумерная площадь поперечного сечения, трехмерный объем и четырехмерная форма.
Если же единицу массы умножить на единицу скорости, то это будет тоже единица, но состоящая из трех простых единиц: массы, времени и протяженности. Это единица количества движения, которая тоже комплекс, но двумерный. Это не импульс, как принято считать. Импульс – это, продолжительность действия силы и является вектором.
В тепловой среде единица скорости определяет температуру: вращение – внутреннюю, перемещение – внешнюю, а единица количества движения характеризует единицу количества теплоты.
Единица количества движения, осуществленного за единицу времени, образует единицу силы движения, которая состоит тоже из трех простых единиц: массы, протяженности и единицы времени. Эта сила движения является вектором, поскольку имеет направление движения. Единиц времени тут две. Хотя они одинаковы, но они имеют разную природу: одна характеризует просто перемещение в пространстве, а другая – перемещение массы в определенном направлении. И сил движения две, которые перпендикулярны друг другу: одна вращает объект, вторая его перемещает. Если же эту единицу силы умножить еще на одну единицу времени, то это буде единица импульса силы.
Движение изначально существует как положительное, так и отрицательное, поэтому все предыдущие единицы измерения характеристик, кроме массы, тоже могут быть таковыми.
Всякое движение сопровождается сопротивлением. Природой этого сопротивления являются взаимодействия движущихся частиц. Даже единичные теплоносители, двигаясь в пустоте, сталкиваются и изменяют свои скорости и направления движения. Поскольку любой теплоноситель обладает равными количествами вращательного и поступательного движений, при столкновении скорости перемещения изменяются в процессе выравнивания, изменяя при этом скорости вращения.
Достигнутое равновесие двух столкнувшихся элементов, нарушает равновесие между вращением и перемещением, которое тут же стремится выровняться. Это вызывает упругое отталкивание. Такова природа упругости. Один и тот же элемент в течение некоторого времени претерпевает три изменения своего состояния: начальное, равновесное и конечное. Это единичный трехмерный комплекс.
Любой биологический объект, от грибов до человека, комплексы обладает четырьмя жизненными стадиями: зарождение, развитие, размножение, отмирание. Это единичный четырехмерный комплекс.
В общей же сложности единичные комплексы могут быть одно-, двух-, трех-, и четырехмерными. Точно такими же могут быть и векторы, и тензоры.
Сила одного вида движения – одномерный вектор, сила двух перпендикулярных видов движения – двумерный, три силы, действующие на частицу в зоне притяжения-отталкивания – трехмерный, а четыре силы, действующие в процессе движения гравитационной частицы – четырехмерный вектор.
Что такое тензор? В математике считается, что «тензор (от лат. tensus, «напряженный») – это математический объект, который как объект не зависит от смены системы координат, но его компоненты при смене системы координат преобразуются по определенному математическому закону». Надо бы уточнить.
Начать надо, видимо, с того, что в любом однородном множестве единичный элемент остается все той же единицей независимо от количества элементов в множестве. Следовательно, это тоже тензор, но самый простой.
При движении соотношение вращения и перемещения всегда остается одним и тем же, независимо от временного промежутка и положения в пространстве. Это тоже тензор. Не изменяется и угол между силами вращения, и перемещения. Не изменяется ни содержание, ни форма объекта при изменении системы координат, например, с прямоугольной на косоугольную.
Изменение направления движения на противоположное тоже не изменяет ни содержания, ни формы, а есть только отражение одного в другом. Взаимодействие объектов разноименных знаков образует подобный третий. Например, два теплоносителя разных знаков образует подобный носитель магнитной энергии. Мало того, что он подобен, но он еще и содержит оба теплоносителя.
Тоже самое происходит со всеми видами тензоров. Следовательно, тензор как объект не зависит не только от смены системы координат, но и от изменения количественных и размерных характеристик, а также включает в себя отображенные образы.
Таким образом, единица является частью понятия меры и имеет множество видов. Она может быть:
1. Элементом любого множества реальных объектов (штуки);
2. Единицей физических величин и единицей их измерения;
3. Единицей многомерных отношений;
4. Единицей математических, логических и других мыслительных объектов.
Очевидно, что возможны и другие виды единиц.