Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели

7.1

Архимед и анекдоты

А еще, кажется, Архимед – первый ученый, про которого сочиняют анекдоты. Анекдоты про ученых – ныне явление повсеместное (например, крайне рекомендую всем заинтересованным книгу [73]). Но до Архимеда про ученых не сочиняли анекдотов. К ним относились с большим почтением, очень благоговейно. А Архимеда, хоть и уважали, но подсмеивались над его рассеянностью и увлеченностью наукой.

Например, рассказывают, что даже когда он принимал ванну, он не мог оторваться от геометрических чертежей и чертил их буквально на пене в ванной, на расплескавшейся вокруг ванной воде, и вообще на любых поверхностях.

В целом, подобные анекдоты о рассеянности ученых потом рассказывали постоянно. Например, судя по анекдоту, Ньютон както раз вместо яйца сварил по рассеянности свои карманные часы. А Эйнштейн… Впрочем, не буду вам все пересказывать, не зря же я вам книжку отдельную упомянула! Но Архимед был первым.

Ну, а самый известный анекдот, безусловно, про корону царя Гиерона.

Жил-был царь Гиерон. Страна, которой он управлял, была очень мала. А самомнение у него было очень велико. Поэтому он велел создать для него корону, самую большую, самую дорогую, и самую красивую! Выделил Гиерон ювелиру каменьев драгоценных и золота 10 пудов. И через некоторое время получил корону, которая весила ровно столько, сколько нужно. Была самая большая в мире и самая красивая. Но пошел слушок, что ювелир оказался нечист на руку, и использовал для короны не чистое золото, а часть золота заменил серебром того же веса.

Но как же это узнать? Архимед умный, вот пусть Архимед и узнает, – порешил царь.

Архимед долго бился над задачкой. Пилить корону, брать пробы – испортишь! А корона Гиерону очень нравилась, он с ней не хотел расставаться в любом случае. Как же проверить, из чистого она золота, или часть золота заменил-таки прохвост-ювелир на серебро? Думал-думал, ничего в голову не шло. И вот в один день пошел Архимед принимать ванну. А слуги наполнили ванну до самых краев, и когда Архимед залезал, вода выплеснулась на пол.

– А сколько же воды выплеснулось? – подумал Архимед. – Так ровно столько, каков мой объем.

– Эврика! – вскричал Архимед. На греческом это означало "нашел!" – выбежал из ванной и побежал прямо в чем мать родила через все Сиракузы во дворец, рассказывать царю Гиерону, как, не разрушая его корону, узнать, из чистого ли она золота.

И ведь правда, серебро – намного менее тяжелый металл (как бы мы сказали сейчас, плотность серебра меньше). Поэтому серебро того же веса займет больший объем, нежели золото. А объем можно вычислить, погрузив предмет в воду. Так можно узнать, не добавили ли в золото серебра.

А вот что случилось с тем ювелиром, анекдоты умалчивают. Вероятно, это уже не такая забавная история.

7.2

Механические изобретения

Архимед очень стыдился своего занятия механикой и изобретением разных механических приспособлений, но поделать с собой ничего не мог. Ну, нравилось ему это дело! Хотя и было немного стыдно извлекать прибыль из математики, вопреки неписанному уставу древнегреческих математиков. Изобретения свои он считал "забавами геометрии". Так что же изобрел Архимед?

Рисунок 7.2: Т. Спенс. Архимед руководит обороной Сиракуз. 1895г.

Более всего известен Архимед своими военными инженерными разработками. Когда в 212 году до н.э. римляне напали на Сиракузы в очередной попытке захватить этот город, у сиракузян на самом деле не было ни единого шанса на поле боя. Они многократно уступали в численности, в умении, в опыте… Но на помощь пришел Архимед и его приспособления.

Атакующих с суши встретили катапульты и скорпионы (которые изобрел Архимед, и подобного оружия у римлян не было). Причем, совершенно гениально Архимед изобрел бойницы. Уникальное изобретение, которое после смерти Архимеда было в Европе утеряно аж до Позднего Средневековья (а в Сиракузах бойницы встречаются в 3 веке до н.э.) Очевидно, сквозь бойницы метать снаряды при помощи скорпионов куда как удобнее, чем с вершины стен. Поэтому римляне не могли ничем ответить этой смертоносной бомбардировке, не могли ни разрушить как-то машины, ни подстрелить из луков сиракузян, управляющих этими машинами.

А вот на море римлян встречало еще одно изобретение Архимеда – клешня Архимеда (или коготь Архимеда). Это крюк, который захватывал судно под днище, потом с помощью системы блоков, нос корабля медленно поднимался из воды. После чего (вот тут тоже состоит гениальность), блок вышибали, веревка ослабевала и корабль под собственным весом падал в море, уходя под воду. Можно было веревку перерезать – но тогда изобретение было одноразовым. Архимед придумал, как такую систему сделать "многозарядной". (Можно посмотреть реконструкцию этого процесса, например, тут: [22]).

Были у Архимеда и мирные изобретения, как же не быть? Например, он изобрел перископ. Т.е. изогнутую трубку с системой зеркал, позволяющую заглянуть за стену.

Или вот, например, Архимед изобрел "Винт Архимеда" – устройство, которое до сих пор используют в некоторых странах для осушения полей или для поднимания воды на большую высоту. (Про это устройство тоже можно посмотреть видео. Например, вот такое: [23]).

А что же осада Сиракуз 212 года? Так она была успешно отражена! Вот так наличие одного лишь Архимеда позволило отразить атаку громады римского легиона! Но, к сожалению, во время этой осады Архимед был убит.

Как рассказывают, в Сиракузы прорвались-таки несколько солдат. Они шли по городу и увидели старика, что-то рисующего на земле. Перед смертью Архимед воскликнул: "Только не затопчите чертежи!"

7.3

Математика Архимеда

Конечно, в первую очередь Архимед считал себя самого не инженером или изобретателем, а математиком, геометром.

Что же изобрел Архимед в математике? Во-первых, Архимед доказал, что у всех окружностей отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное (это число π). Архимед не знал π точно, но у него были работы по ограничению его сверху и снизу. Это именно он придумал способ: надо в окружность известного радиуса вписать правильный многоугольник, вычислить его периметр. Этот периметр будет меньше длины окружности. А теперь надо описать вокруг окружности многоугольник. Его периметр будет больше длины окружности. (Поделив на диаметр, получим ограничение на число π сверху и снизу).

Архимед придумал хорошее приближение для числа (сейчас это называется "архимедово приближение"; и именно поэтому русские математики празднуют "День числа Пи" не 3 марта (14.03 – это ведь в русской записи не похоже на число Пи!), а 22 июля (22/7)).

Архимед же знал правильную формулу для площади круга.

В «Началах» было установлено, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса. Но про число Пи ничего не сказано. Видимо, Евклид (и другие математики к тому времени) про Пи ничего не знали. Тут пальма первенства за Архимедом.

Архимед придумал (и доказал) правильные формулы площади сферы и объема шара.

Рычаг Архимед не изобретал, рычаг придумали и применяли раньше. Но Архимед полностью доказал и рассчитал принцип его действия. Именно поэтому Архимеда называют отцом такой отрасли математики как "теоретическая механика".

И по этому поводу опять анекдот.

Известный уже нам царь Гиерон решил поразить египетского царя и построить для него самый большой в мире корабль. Корабль-то построили, но вывести из доков никак не могли. Он был слишком большой и тяжелый.

На помощь, как водится, вызвали Архимеда!

– Дайте мне точку опоры, и я переверну мир! – вскричал ученый. – Что-что?

– Спорим, через неделю ты сам, о великий царь, сможешь одним пальцем спустить корабль на воду?

– Одним пальцем? Корабль, который невозможно ни поднять, ни спустить? – но спорить с Архимедом Гиерон не стал, он уже знал, на что тот способен.

И правда, Архимед разработал систему рычагов и блоков, с помощью которой корабль без труда спустили на воду. А приводилась в движение система ну не одним пальцем, но усилиями одного человека.

И еще одно из самого интересного, чем занимался Архимед. Он считал площадь под параболой. Древним грекам вообще эти самые кривые второго порядка (эллипс, парабола и гипербола) были хорошо известны, они их изучали. Так вот, Архимед получил хорошую, вполне современную формулу для площади, ограниченной отрезком параболы. Как он это получил? Примерно тот же путь спустя две тысячи лет проделают другие математики и назовут это интегрированием. Архимед разбивал площадь под параболой на маленькие трапеции, считал их площадь (получалось ограничение искомой площади сверху), а потом бесконечно уменьшал трапеции (т.е. мы бы сейчас сказали, что он переходил к пределу! но Архимед таких бранных слов не употреблял) – и именно так получил правильную формулу.

Кстати, это Архимед придумал формулу для площади треугольника, которую мы знаем под названием «Формула Герона».

На самом деле, у Архимеда настолько много потрясающих изобретений, что обо всех говорить – мне не хватит книжки. Поэтому я опять вынуждена вас отослать читать книжки поумнее. Например, [17].

Древнегреческие итоги. На этом замечательном математике, на Архимеде, мы прощаемся с Древней Грецией. Конечно, рассказ про Древнюю Грецию не полон, да мои рассказы и не претендуют на полноту. Например, формально к древнегреческому периоду относится и живший в III веке нашей эры Диофант, математик на несколько веков опередивший свое время. Его работы оставались неоцененными и недопонятыми, пока их не начали переиздавать в Ренессанс (ну, просто потому что обожали все древнегреческое), и их читал Пьер Ферма. Вот только тогда его работы оказали заметное влияние на развитие математики. Да были и другие выдающиеся ученые. По количеству математиков Древняя Греция на несколько порядков опережает следующий за ней период Средневековья. Но нельзя объять необъятное!

Мне бы хотелось только подвести какие-то итоги. Во-первых, в Древней Греции зародилась математика как наука. Главное в математике – доказательства фактов, а не сами факты. Связи вещей, а не сами вещи. Доказательства и теоретическая математика выходят на первый план и возводятся чуть ли не в ранг религии. Бо´льшая часть математики – геометрия. И геометрия (как планиметрия, так и стереометрия) на невероятно высоком уровне. Не каждый современный профессор математики сможет решить те задачи, какие решали древние греки. Вне геометрии сильно тормозило развитие отсутствие приличной записи чисел. Но при этом они уже открыли иррациональные числа. Хотя вообще-то "правильными числами" считали только натуральные – и именно поэтому в Древней Греции зародилась отдельная математическая наука – теория чисел.

Какие книги можно еще почитать.

К главам 3–7 про Древнюю Грецию.

[11]

Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит-ры, 1969.

/*Отличная книжка. Не популярная, настоящая, научная, со ссылками на первоисточники и прочее. В ней совсем не урезана объясняемая математика. Написано не скучно, читать интересно.*/

[12]

В. Прасолов, Три классические задачи на построение. – М.: Наука, 1992.

/*В этой книге приводится как историческая справка (что это за задачи вообще), так и способы решения этих задач, предлагаемые в древности. Были способы приблизительные, были способы с использований каких-либо девайсов кроме циркуля и линейки, было еще много разных. Но и математическая составляющая хорошая. В книге есть полное доказательство невозможности разрешения этих трех классических задач.*/

[13]

«Начала Евклида» в переводе Д. Д. Мордухай-Болтовского. – М.,Л.: Гос.изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.

/*Ну, это математическая "Библия". Читать надо или не надо – решайте сами. Но все цитаты из «Начал» Евклида в моей книге – оттуда. Я бы рекомендовала полистать, не вчитываясь.*/

[14]

М. Гаспаров, Занимательная Греция. – М.: Новое литературное обозрение, 2000.

/*Это вообще детская научно-популярная книжка, по истории, без привязки к истории математики. Но про Пифагора там есть.*/

[15]

В. Чистяков, Рассказы о математиках. – М.: Высшая школа, 1966.

/*Достаточно простая книжка про разных математиков.*/

[16]

Б. Рассел, История западной философии. – М.:АСТ, 2021.

/*Бертран Рассел – математик, специалист по математической логике в основном, но при этом выдающийся философ начала-середины XX века. В 1950 году получил Нобелевскую премию по литературе как раз за то, каким чудесным слогом написаны его статьи и книги по философии.*/

[17]

Архимед, Сочинения, в пер. И.Н. Веселовского, Б.А. Розенфельда. – М.: Гос.изд-во физ-мат. лит-ры, 1962.

/*Это очень хорошая книжка. Это сборник записок Архимеда с переводами, расшифровками и пояснениями к его изобретениям.*/

[18]

Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах, в пер. И.Н. Веселовского. – М.: Наука, 1974.

/*Тот же смысл: перевод с древнегреческого всех сохранившихся трудов Диофанта. Есть историческая справка про него. Комментарии и прочее. Напомню, что Диофантом вдохновился Ферма, когда придумал свою Великую Теорему.*/

[19]

Платон. Собрание сочинений в 4 томах. – М. Мысль, 1971-1972.

/*Ну, это так, для общего понимания ситуации.*/

[20]

Les Luthiers, Teorema de Thales ilustrado (

песня

). —

https://youtube.com/watch?v=Q8F538tA-jI&si=EnSIkaIECMiOmarE

/*Видеоклип и песня аргентинской юмористическо-музыкальной группы Les Luthiers. Песня называется "Иллюстрированная теорема Фалеса" – и в ней правильно излагается теорема Фалеса. Группа очень популярна в испаноязычных странах.*/

[21]

Euclidea (игра). —

Euclidea

. https://www.euclidea.xyz/

/*Ссылка на сайт игры, хотя играть в приложении для телефона удобнее. Игра на построение циркулем и линейкой, для истинных математиков.*/

[22]

Коготь Архимеда (видео). —

https

://

youtube

.

com

/

watch

?

v

=

OUaU

4

eVmwP

0&

si

=

EnSIkaIECMiOmarE

/*Реконструкция изобретения Архимеда, которое могло управляться одним человеком и топить целые корабли неприятеля.*/

[23]

Винт Архимеда (видео). —

https://youtube.com/watch?v=smAgn_gXImo&si=EnSIkaIECMiOmarE

/*Популярная российская программа Галилео рассказывает про изобретение Архимеда "Винт Архимеда" и немножко больше.*/

Лекция 8

.

Математика Древнего Востока

Совершенно независимо от математики Древней Греции развивалась математика в Древнем Китае и в Древней Индии. Какие-либо постоянные отношения (торговые первым делом, конечно) налаживаются только во II веке нашей эры. До того времени развитие Европы и Азии шло практически независимо. Впрочем, и про "развитие Азии" говорить тоже нельзя. До примерно того же времени (II века нашей эры) между Китаем и Индией тоже нет никаких регулярных отношений.

А кроме того, надо понимать, что как бы мы ни силились понять Древнюю Индию и Древний Китай – сделать это очень сложно. Страны намного более закрытые, и древних источников там сохранилось намного меньше.

8.1

Древний Китай

Считается, что китайская цивилизация зародилась примерно за 2 тысячи лет до нашей эры (может, даже и за три). Первые известные письменные источники относятся к 1612 вв до н.э. И математика (в некотором виде) на них уже встречается. Например, известны гадательные кости 16 века до н.э., на которых есть изображения чисел и геометрические орнаменты. Очень любили в Древнем Китае и изображения правильных многоугольников. А, например, изображения пяти-, семи-, восьми- или девятиугольников никогда не встречались в Египте и Месопотамии. А в Китае – излюбленные элементы орнаментов.

Изображения циркуля и угольника встречаются на китайских рисунках примерно с 2000 года до нашей эры. Это, безусловно, интересно. В Египте и Вавилоне про циркуль ничего не думали, и никакие задачи на построение не решали. На рисунке 8.1 изображение примерно VI века до нашей эры. Это – китайские боги-прародители Фу Си (с угольником) и Нюйва (с циркулем). И они на всех канонических изображениях с циркулем и угольником!

Рисунок 8.1: Изображение китайских богов-прародителей. Фрагмент.

Вообще-то, про совсем-совсем древние времена в Китае нам достоверно известно мало. В 213 году до н.э. император Ши Хуан-ди приказал сжечь все книги, чтобы разрушить старый мир до основания и новый на нем воздвигнуть. Но практически сразу после его смерти (во II веке нашей эры) эти книги начали очень бурно восстанавливать по памяти.

То есть тексты да, начали появляться во II веке до н.э. Но возраст мыслей в них оценить невозможно. Например, во II веке до н.э. в Китае появляются их собственные «Начала». (Называется этот трактат «Математика в девяти книгах») Этот трактат энциклопедичен. Он содержит много задач с решениями. В нем также приведены и теоремы. Но никаких доказательств нет. Считается, что при его составлении математики вспоминали старые утерянные тексты. Как в поздней редакции «Начал» встречается очень интересный комментарий Прокла (аж отдельной строкой вошедший в историю математики), так и к «Математике в девяти книгах» добавил свои комментарии (и доказательства теорем!) переписывающий ее в 3 веке н.э. Лю Хуэй.

Появляются ли доказательства в математике Древнего Китая под влиянием греческой математики или независимо – сказать невозможно. Итак, что же из математики известно в Древнем Китае? Дроби у китайцев – обыкновенные (это не фигура речи, а математический термин. Обыкновенные дроби – это такие, которые записываются в виде числителя и знаменателя). Очень подробно изложен алгоритм сокращения дроби (который аналогичен алгоритму Евклида для поиска НОД).

Современное правило деления дробей (чтобы одну дробь поделить на вторую, вторую переверни и дроби умножь) придумали в Китае в 5 веке н.э. В Европе это открытие относится к 16 веку.

Знали китайцы площади треугольника, трапеции.

В формуле для поиска длины окружности использовали π = 3. Но (что интересно) формула для вычисления площади круга была у них правильная! S = dC/4 (здесь d – диаметр, C – длина окружности). Однако, уже упомянутый Лю Хуэй с помощью метода Архимеда (неизвестно, был ли он знаком с работами Архимеда, или переизобрел этот метод сам) вычислил значение π = 3.14159. Это приближение не было улучшено еще тысячу лет.

Книги 7 и 8 из «Математики в девяти книгах» посвящены решению системы линейных уравнений. По сути, изложенный в восьмой книге метод для решения системы с n неизвестными, совпадает с методом, который нам известен под названием "метод Гаусса".

Впервые для решения систем линейных уравнений используются отрицательные числа (в Европе их еще не изобрели, и изобретут только в 15 веке н.э.)

Треугольник 3-4-5 (египетский) появляется у древних китайцев примерно в 2200 году до н.э. (но это неточно)). В «Девяти книгах» пифагоровы тройки есть, но доказательства теоремы Пифагора нет (первое зафиксированное доказательство принадлежит все тому же великому Лю Хуэю).

В девятой книге появляются очень интересные задачи про измерение расстояний до недостижимых объектов (например, найти высоту горы). Лю Хуэй добавил к этим задачам еще много, и оформил их в отдельный трактат с поэтичным названием «Математический трактат о морском острове». В Европе таких задач не решали. А начали решать позже, как раз под влияием китайском математки.

А самое супер-интересное в работах Лю Хуэя – его доказательство объемов для треугольной и четырехугольной пирамиды. Дело в том, что он опять же дробил пирамиды на более мелкие объекты – и (как бы мы сказали сейчас) переходил к пределу! Таким образом, в его работах опять встречается красивые зачатки математического анализа, не хуже, чем у Архимеда.

В 3 или 4 веке нашей эры математик Сунь-цзы придумал известную "Китайскую теорему об остатках" (позднее ее рассказал европейцам в 1202 году Леонардо Фибонначи, она была неизвестна). Он же написал трактат о том, как вычислять значение корня с точностью до любого знака. Позднее в Европе этот метод был переоткрыт лишь в 19 веке (и называется он сейчас, конечно, метод Руффини-Горнера).

Как влияла математика на историю и культуру Китая? Сказать довольно сложно. Во-первых, опять же, из-за закрытости Китая. А во-вторых, потому что в Китае наоборот, государство и политика очень сильно влияли на развитие математики. Математика была под приглядом бюрократов. Очень сильно в математике соблюдались традиции. Такого математического взрыва, как в Древней Греции V–III вв до н.э. в Китае никогда не было и не могло быть. Математика развивалась очень медленно, новые знания на протяжении веков добавлялись по-маленьку. И о такой свободе математического творчества, как наблюдается в Древней Греции, древнекитайские математики могли только мечтать.

И какие же главные выводы мы должны сделать из этого очерка про Китай? Во-первых, жечь рукописи – зло. Теряются не только традиции, но и история, и знания. Во-вторых, ученым надо взаимодействовать и сотрудничать. Из-за того, что китайские ученые не стремились делиться накопленными знаниями, в Европе это все пришлось переизобретать. Но, кстати, из-за этой же закрытости, и из-за упорного следования традициям, и китайцы не знали многого из современной им математики. Математика в Европе к началу Средневековья на гораздо более высоком уровне, чем математика в Древнем Китае (несмотря на некоторые отдельные методы и теоремы)

Ну, и плюс (точнее, для Китая минус), многие вещи в математике навсегда теперь называются именами переоткрывших их людей, а имена Лю Хуэя или Сунь-цзы нам почти неизвестны.