Геометрические построения на плоскости

Из точек пересечения дуги с прямой а проводим две дуги тем же радиусом:

Соединяем точки пересечения дуг и получаем прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А:

2. Пусть даны прямая а и точка А, лежащая на прямой а:

Из точки А строим дугу произвольного радиуса:

Из точек пересечения прямой и дуги проводим две дуги равными радиусами:

Через точки пересечения дуг проводим прямую и получаем перпендикуляр к прямой а в точке А:

Задание 7. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Решение. Пусть дана прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой.

Произвольным раствором циркуля проводим окружность с центром в точке С так, чтобы она пересекла прямую АВ.

Тем же раствором циркуля от одной из точек пересечения М откладываем на АВ в любую сторону отрезок MN. Снова тем же раствором засекаем из точки N дугу. Точку Р пересечения дуги с окружностью соединяем с данной точкой С.

РС – искомая прямая.

Задание 8. Провести прямую, параллельную заданной прямой MN и отстоящую от нее на расстояние а.

Решение. Через произвольную точку В на прямой MN проводим прямую AB, перпендикулярную к заданной. На перпендикуляре от точки В откладываем отрезок BC, равный заданному расстоянию а. Через точку С проводим прямую CD, параллельную заданной.

Отрезок BC можно отложить на перпендикуляре в обе стороны, поэтому задача имеет два решения.

Задание 9. Даны отрезки а и b. Построить отрезок длиной.

Решение. Построим отрезок длиной а+b:

Делим полученный отрезок пополам и проводим окружность радиусом (a+b):2.

Из точки С проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью:

Отрезок АС и есть искомый отрезок длиной.

Задание 10. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Построить точку М прямой а так, чтобы сумма АМ+МВ была бы меньше суммы AX+XB, где X – любая точка прямой, отличная от М.

Решение. Строим точку В», симметричную точке В относительно прямой а. Через точки А и В» проводим прямую.

Точка М, точка пересечения прямых АВ» и а, искомая.

Задача имеет одно решение, если точки А и В одновременно не лежат на прямой а. Если только одна из двух данных точек принадлежит прямой а, то искомая точка М совпадает с ней.

Если точки А и В лежат на прямой, то задача имеет бесконечное множество решений.