Развитие логического мышления учеников 5–9 классов

Задачи «То ли одно, то ли другое»

В основе рассуждений в задачах названного вида лежит соотнесение суждений о признаках, взаимоисключающих друг друга.

Варианты условий

В рассматриваемых задачах возможны четыре варианта условий.

В первом варианте в условии и в вопросе задач используются утвердительные суждения, например:

«Три кошки – серая, белая, черная – сидели: одна в комнате, одна в коридоре, одна в спальне. Утром покормили то ли черную кошку, то ли сидящую в спальне, вечером – то ли сидящую в спальне, то ли белую. Где была серая кошка?» (Ответ – в спальне).

Во втором варианте в условии задач используются утвердительные суждения, а в вопросе – отрицательные, например:

«Катя, Маша и Надя – подруги. Кто-то из них учился в музыкальной школе, кто-то в спортивной, кто-то в художественной. Четверки получала либо Катя, либо кто-то в музыкальной школе, пятерки – либо кто-то в музыкальной школе, либо Надя. Кто не учился в музыкальной школе?» (Ответ – Катя и Надя).

В третьем варианте изменяется строение задачи, – неизвестным становится ее вопрос: требуется определить, какой вопрос подходит к данным компонентам условия задачи, например:

«Было три дерева: сосна, ель и липа. На одном из них было три птицы, на другом – пять, на третьем – шесть. Сначала нарисовали то ли сосну, то ли дерево с пятью птицами, затем – то ли дерево с шестью птицами, то ли сосну.

На какой вопрос можно ответить по условию этой задачи:

1) Сколько птиц сидело на ели?

2) Сколько птиц сидело на липе?

3) Сколько птиц было на сосне?» (Ответ – на вопрос 3).

В четвертом варианте также изменяется строение задачи, – неизвестным становится один из компонентов ее условия: требуется определить, какой информации не достает в условии, чтобы можно было ответить на вопрос задачи, например:

«Егор и Лёня – переводчики. Кто-то из них читал газеты, кто-то журналы, кто-то на английском языке, кто-то на французском. Утром переводились либо газеты, либо что-то с английского языка. Кто читал журналы?

Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос этой задачи?

1) Днем переводил Егор.

2) Днем либо Лёня переводил, либо кто-то с английского.

3) Утром читал Лёня» (Ответ – вариант 2).

Уровни сложности

В зависимости от того, сколько суждений с разделительным союзом («то ли, то ли», «либо, либо», «или, или») представлено в содержании задач, различаются три уровня сложности.

В задачах первого уровня сложности содержатся два суждения с разделительным союзом, например:

«Миша и Гена отдыхали: кто-то на реке, кто-то на озере, кто-то один день, кто-то два. В августе то ли Миша отдыхал то ли кто-то на озере. В июне – то ли кто-то отдыхал два дня, то ли кто-то на озере. Сколько дней отдыхал Гена?» (Ответ – один день).

В задачах второго уровня сложности содержатся три суждения с разделительным союзом, например:

«Михайлов, Сергеев и Владимиров выступали в концерте. Один пел народные песни, другое – городские романсы, третий – оперные арии. Сначала на концерте слушали то ли Михайлова, то ли арии, далее слушали то ли арии, то ли Сергеева, затем слушали то ли Сергеева, то ли народные песни. Что пел Михайлов?» (Ответ – народные песни).

В задачах третьего уровня сложности содержатся четыре суждения с разделительным союзом, например:

«В саду нужно было поливать яблони, груши, сливы и вишни. Какие-то из деревьев хотели поливать в 6 часов утра, какие-то – в 7, какие-то – в 8 и какие-то – в 9. Сначала думали о поливе то ли яблонь, то ли в 9 часов утра. Далее думали о поливе то ли в 9 часов, то ли слив. Затем думали о поливе то ли слив, то ли в 8 утра. После всего задумались о поливе то ли груш, то ли в 9 утра. В котором часу хотели поливать вишни?» (Ответ – в 9 утра).

Приемы сочинения

Для сочинения самых простых задач можно действовать так.

Сначала придумываем двух персонажей и их действия, например, «Боря и Вова играли с мячом».

Далее намечаем, что было два мяча: один большой и красный, другой маленький и синий.

Затем составляем основные предложения, например: «Утром играл то ли Боря, то ли кто-то с большим мячом» и «Днём кто-то играл то ли с синим мячом, то ли с большим».

И, наконец, формулируем вопрос, например: «У кого был синий мяч?»

В итоге получается задача: «Боря и Вова любили играть с мячом. Утром играл то ли Боря, то ли кто-то с большим мячом. Днём кто-то играл то ли с синим мячом, то ли с большим. У кого был синий мяч?» (Ответ – у Бори).

Задачи «Родственники»

В основе рассуждений в задачах названного вида лежит соотнесение суждений о родстве персонажей, упоминаемых в условии.

Варианты условий

В задачах этого вида возможны пять вариантов условий: три первых связаны с содержанием родственных отношений, а два последних – с изменением структуры задач.

В первом варианте (наиболее легком) используются утвердительные суждения в условии задачи и в ее вопросе, например: «Александр – сын Бориса. Кем может приходиться Борис Александру?» (Ответ: отцом).

Во втором варианте (более трудном) в условии задачи используется отрицательное суждение, а в ее вопросе утвердительное, например: «Михаил – не брат Ларисы, но ее родственник. Кем может приходиться Лариса Михаилу, – бабушкой, сестрой или никем не может приходиться?» (Ответ: может приходиться бабушкой).

В третьем варианте (наиболее трудном) в условии задачи используется утвердительное суждение, а в ее вопросе отрицательное, например: «Константин – дядя Нины. Кем не может приходиться Нина Константину, – матерью, никем не может приходиться или племянницей?» (Ответ: не может приходиться матерью).

В четвертом варианте изменяется строение задачи, – неизвестным становится ее вопрос: требуется определить, какой вопрос подходит к данным компонентам условия задачи, например: «Владимир – дедушка Николая. Николай – приятель Игоря.

На какой вопрос можно ответить по условию задачи:

(1) Кто брат Николая?

(2) Кто приятель Владимира?

(3) Кем приходится Николай Владимиру?» (Ответ: на вопрос 3).

В пятом варианте также изменяется строение задачи, – неизвестным становится один из компонентов ее условия: требуется определить, какой информации не достает в условии, чтобы можно было ответить на вопрос задачи, например:

«Борис работает вместе с Виктором. Кем может приходиться Виктор Борису?

Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос этой задачи?

(1) Борис старше Виктора.

(2) Виктор выше Бориса.

(3) Борис брат Виктора» (Ответ: вариант 3).

Уровни сложности

В зависимости от того, сколько родственных отношений представлено в содержании задач, различаются четыре уровня сложности.

В задачах первого уровня сложности содержатся сведения об одном родственном отношении, например: «Алексей – отец Дмитрия. Кем может приходиться Дмитрий Алексею?» (Ответ: сыном).

В задачах второго уровня сложности содержатся данные о двух родственных отношениях, например: «Екатерина – мать Марины. Марины – сестра Никиты. Кем может приходиться Никита Екатерине?» (Ответ: племянником).

В задачах третьего уровня сложности содержатся данные о трех родственных отношениях, например: «Михаил – отец Маргариты. Маргарита – сестра Николая. Николай – отец Виктора. Кем может приходиться Виктор Михаилу?» (Ответ: внуком).

В задачах четвертого уровня сложности содержатся данные о четырех родственных отношениях, например: «Аркадий – брат Игоря. Игорь – отец Ларисы. Лариса – сестра Олега. Олег – сын Егора. Кем может приходиться Егор Аркадию?» (Ответ: братом).

Приемы сочинения

Для сочинения простых задач можно действовать так.

Сначала выбираем три персонажа и их занятие, например: «Святослав, Владимир и Геннадий играли в спектакле».

Далее подбираем отношения родства, в которых находятся эти персонажи, и намечаем первое и второе основные предложения, например: «Святослав – племянник Владимира. Владимир – дедушка Геннадия».

И, наконец, формулируем вопрос, например: «Кем Геннадий может приходиться Святославу, – племянником, дядей, братом, неизвестно, кем, отцом или дедушкой?»

В результате получается такая задача: «Святослав, Владимир и Геннадий играли в спектакле. Святослав – племянник Владимира. Владимир – дедушка Геннадия.

Кем Геннадий может приходиться Святославу, – племянником, дядей, братом, неизвестно, кем, отцом или дедушкой?» (Ответ – племянником).

Чтобы усложнить задачу, добавляем в содержание задачи еще одного персонажа и соответственно еще одно отношение родства: «Александр, Константин, Вячеслав и Тимофей играли в бридж. Александр – брат Константина. Константин – дядя Вячеслава. Вячеслав – племянник Тимофея. Кем Тимофей может приходиться Александру, – племянником, дядей, братом, неизвестно, кем, отцом или дедушкой?» (Ответ – братом).

***

Итак, в настоящей главе представлены восемь основных видов логических задач, построенных на неучебном материале: «Больше, чем…», «Совпадения», «Старше, моложе», «Сходство, отличие», «Ближе, левее», «Так же, как…», «То ли одно, то ли другое», «Родственники».

В ходе представления были охарактеризованы разные варианты построения задач каждого вида:

– в одном случае и в условии задач, и в вопросе используются только утвердительные суждения,

– в другом случае в условии задачи используется отрицательное суждение, а в ее вопросе утвердительное,

– в третьем случае в условии задачи используется утвердительное суждение, а в ее вопросе отрицательное,

– в четвертом случае изменяется строение задачи, – неизвестным становится ее вопрос: требуется определить, какой вопрос подходит к данным компонентам условия задачи,

– в пятом случае также изменяется строение задачи, – неизвестным становится один из компонентов ее условия: требуется определить, какой информации не достает в условии, чтобы можно было ответить на вопрос задачи.

Наряду с указанными вариантами построения задач каждого вида были охарактеризованы также и уровни их сложности, связанные с количеством суждений, необходимых для совершения непротиворечивого заключения.

Глава 2
Формы организации занятий по развитию мышления

Серьезные резервы в повышении результативности обучения и обогащении образовательной среды школы заключаются в организации интеллектуально-развивающих занятий.

Так, во внеклассной работе имеются значительные, во многом еще не использованные возможности развития у детей самостоятельности мышления и совершенствования, тем самым, таких важных сторон их умственной деятельности, как, во-первых, анализ условий решаемых задач, выражающийся в уровне понимания их содержания, во-вторых, рефлексия собственных действий, проявляющаяся в характере осознания их способа, в-третьих, мысленное экспериментирование, связанное с планированием действий по достижению требуемого результата.

Важно отметить, что включение школьников в регулярную мыслительную деятельность, направленную на поиск решения занимательных, нестандартных задач неучебного содержания, создает хорошие условия для умственного развития, поскольку в этом случае они постоянно ставятся в такие ситуации, где есть возможности развертывать понимание условий, осмысливать общность и различие своих действий при решении однотипных и разнотипных задач, строить различные планы для достижения требуемого результата.

Более сложная (по организации) форма внеклассной работы на материале занимательных задач состоит в том, чтобы не просто их решать, а еще и коллективно обсуждать. В этом случае на собственно решение задач достаточно отводить 20 – 25 минут, а остальное время следует посвящать разбору правильных и ошибочных действий в ходе решения задач. Смысл такого разбора состоит в том, чтобы побудить школьников к высказываниям и обсуждению разных точек зрения по поводу сходства и различий в способах и условиях решения. При этом создаются дополнительные условия для углубления понимания детьми условий задач, расширения сферы осознания ими своих действий и улучшения умений планировать мыслительную деятельность.

Систематически разбирая решение, школьники постепенно усваивают приемы анализа задач, которые им демонстрируются. У них появляются возможности точнее выделять в своих действиях общее и различное, увереннее их планировать, т. е. продумывать их заранее, до практического выполнения.

Наиболее благоприятные условия для развертывания отмеченного выше рассмотрения способов решения задач создаются в том случае, когда школьникам на протяжении ряда занятий предлагается решать задачи одного какого-нибудь вида.

Для организации эффективной работы со школьниками в условиях проведения развивающих занятий на неучебном материале целесообразно учитывать характеристики видов мыслительной деятельности, развертывающейся при решении занимательных задач, содержание возможной помощи детям в поиске их решения и приемы разработки дополнительного интеллектуально-развивающего материала.

Виды мыслительной деятельности

Занятия по развитию умственных способностей школьников связаны с созданием условий для реализации разных видов мыслительной деятельности:

– коллективный разбор школьниками под руководством учителя решения исходной для данного занятия задачи некоторого вида;

– самостоятельное решение школьниками серии задач аналогичных исходной;

– коллективный разбор под руководством учителя результатов решения задач в итоге самостоятельной работы;

– особая форма индивидуальной работы школьников по проверке предлагаемых им готовых решений задач, аналогичных исходной;

– коллективный разбор под руководством учителя результатов проверки задач в итоге индивидуальной работы;

– самостоятельное сочинение школьниками задач аналогичных исходной;

– коллективное обсуждение под руководством учителя предложенных школьниками задач.

Разбор исходной задачи

Такой вид мыслительной деятельности обычно имеет место в самом начале развивающего занятия. В одних случаях учитель изображает условие предлагаемой задачи на классной доске, в других случаях условие задачи излагается устно.

После того, как будет указан вопрос задачи, учитель просит школьников повторить ее условие. Хорошее знание содержания задачи необходимо для того, чтобы дети могли уверенно производить его анализ.

Далее учитель просит предлагать возможные способы решения разбираемой задачи. По мере поступления предложений учитель организует между школьниками, высказывающими разные мнения о путях решения, дискуссию, требуя обосновывать свою точку зрения, исходя из особенностей условия и вопроса разбираемой задачи. В ответ учитель также обоснованно опровергает неверные и подтверждает правильные предложения о путях решения разбираемой задачи.

В итоге такой коллективной работы школьники имеют возможность понять основания ошибочных и верных способов решения задачи.

Самостоятельное решение задач

Для организации такой работы школьникам раздаются листы с напечатанными на них условиями нескольких задач того вида, к которому относится задача, разобранная в начале занятия. При этом важно предусмотреть, чтобы было как можно больше вариантов предлагаемой серии задач с тем, чтобы обеспечить больше возможностей для самостоятельности мыслительных действий школьников.

Чтобы школьники меньше ошибались, им перед решением полезно сказать: «Каждую задачу нужно сначала несколько раз прочитать, понять, что о каждом участнике рассказывается, и затем подумать, какой ответ написать».

Свой ответ школьники могут отмечать по-разному: либо на бланке с условиями задач, либо на отдельном листе.

Разбор самостоятельной работы

В ходе такого разбора коллективно обсуждаются как сами ответы к задачам (верные и неверные), так и, что особенно важно, причины и условия, которые могли привести к тем или иным ответам.

Главное здесь не в том, чтобы выделить тех, кто решил верно и, конечно, никак не в том, чтобы указать на учеников, сделавших ошибки. А в том, чтобы школьники узнали, какой ответ верный, какой – неверный и почему.

Поэтому учителю не следует ограничиваться лишь упоминанием, что «этот ответ неверный», а нужно пояснить: «…такой ответ получился потому, что…».

Первый этап разбора самостоятельного решения задач состоит в обоснованной характеристике ответов по их правильности.

Например, разбирается решение задачи вида «Больше, чем…»: «Петя прыгает выше Вовы, Петя прыгает ниже Ивана. Кто из мальчиков прыгает выше всех, – Вова, Петя, Иван, Илья или неизвестно, кто?» Здесь правильным будет, конечно, ответ: «Иван», а неправильными будут ответы «Петя», «Вова», «Неизвестно, кто», «Илья».

Если кто-то предложит ответ «Петя», то можно сказать, например, так: «…этот ответ получился потому, что не дочитали задачу до конца и не обратили внимания, что Петя прыгает ниже Ивана, – значит, Петя не может прыгать выше всех».

Когда у кого-то окажется ответ «Вова», можно пояснить, к примеру, так: «…этот ответ получился потому, что не подумали: если Петя прыгает выше Вовы, значит, Вова прыгает ниже Пети и, конечно, не может прыгать выше всех…».

Школьникам, которые посчитали, что «…здесь нельзя сказать, кто прыгает выше всех…», можно предложить такое, например, разъяснение: «…этот ответ получился потому, что не разобрались, что дети прыгают по-разному и сравниваются, – значит, можно узнать, кто прыгает выше всех, он должен быть известен…».

В случае выбора ответа «Иван», можно логично заметить: «… этот ответ получился потому, что просто мало читали задачу и не заметили, что нет такого имени…».

Второй этап разбора самостоятельно решенных задач – выяснение. Он состоит в рассмотрении степени правильности того или иного ответа к каждой задаче. Это наиболее ценная, – особенно для развития умения анализировать условия задач, – часть занятия.

Сначала полагается найти самый неправильный ответ. В задаче «про прыгунов» им будет ответ «Илья», так как он никак не связан с задачей.

Затем определяется менее неправильный ответ, чем «Илья». Это будет ответ «нельзя сказать, кто прыгает выше», поскольку он связан с задачей. И выступает, обычно, следствием безуспешных попыток разобраться, кто как прыгает.

Далее определяется менее неправильный ответ, чем «нельзя сказать, кто прыгает выше». Это будет ответ «Вова». Потому что он больше связан с содержанием, чем ответ «нельзя сказать, кто прыгает выше». Характерно, также, что этот ответ прямо, открыто противоречит условиям задачи.

«Вова прыгает выше всех» противоречит суждению «Петя прыгает выше Вовы». И, наконец, выясняется, что наименее неправильный ответ – «Петя».

Своеобразие этого ответа в том, что он противоречит условию задач неявно, скрыто. В отличие от предыдущих ответов, которые можно считать ошибками по недосмотру, по невниманию, выбор ответа «Петя» – ошибка рассуждения, размышления, т.е. менее грубая.

Ответ «Петя прыгает выше всех» противоречит суждению «Петя прыгает ниже Ивана». Но это противоречие раскрывается, если сформулировать суждение иначе: «Петя не прыгает выше всех».

Третий этап разбора самостоятельно решенных задач заключается в изменении условий и вопроса, в их преобразовании. Это необходимо, чтобы ученики понимали взаимосвязь разных компонентов задачи.

Изменение вопроса можно сделать таким, чтобы правильный ответ оказался неправильным, а неправильный – правильным.

В задаче ««Петя прыгает выше Вовы, Петя прыгает ниже Ивана. Кто из мальчиков прыгает выше всех?» ответ «Петя», например, станет правильным, если изменить вопрос «Кто прыгает выше всех?» на вопрос «Кто прыгает выше Вовы?».

Также изменится и ответ «Вова», – если задать вопрос «Кто прыгает ниже Пети?» Ответ «нельзя сказать, кто прыгает выше» станет правильным, – если спросить «Кто прыгает выше Ивана?» Ответ «Илья» также станет верным, если поинтересоваться «О ком неизвестно, как он прыгает?»

И, наоборот, ответ «Иван» станет неправильным, если будет вопрос «Кто прыгает ниже всех?»

Вместе с тем полезно поискать со школьниками, как изменится ответ, если условие будет другим, а вопрос тем же самым.

Тогда ответ «Петя» станет правильным, если вместо «Петя прыгает ниже Ивана» написать «Петя прыгает выше Ивана», а ответ «Вова» будет правильным, – если обе части сформулировать по-другому: «Петя прыгает ниже Вовы. Вова прыгает выше Ивана».

Ответ «нельзя сказать, кто прыгает выше» станет верным, если вторая часть будет «Вова прыгает ниже Ивана», а ответ «Илья» изменится, когда во второй части напишем «Петя прыгает ниже Ильи».

Легко представить в ином свете и ответ «Иван». Он станет неправильным, если вторая часть будет «Петя прыгает выше Ивана».

Изменение условий нацелено на то, чтобы посмотреть, отчего зависит выбор вопроса.

Например, к задаче «Петя прыгает выше Вовы. Петя прыгает ниже Ивана» могут предлагаться вопросы: «Кто прыгает выше всех?» (1), «Кто прыгает выше Вовы?» (2), «Кто прыгает выше Ивана?» (3).

Предположим, что на занятии дается задание, – выбрать такой вопрос, на который можно дать ответ «Неизвестно, кто…».

Тогда самый неправильный вариант вопроса, – (2), станет правильным, если первая часть условия будет «Петя прыгает ниже Вовы». Менее неправильный вариант, – (1), изменится, если вторая часть будет другая: «Вова прыгает ниже Ивана».

А правильный вопрос, – вариант (3), окажется неправильным, если вторая часть задачи станет «Петя прыгает выше Вовы».

Проверка детьми предложенных решений

Интересной и увлекательной для детей выступает мыслительная деятельность, связанная с проверкой готовых решений задач, т. е. с оценкой истинности или ложности того результата, который уже получен кем-то.

Школьникам, например, сообщается, что один мальчик решал задачу «про прыгунов» и получил ответ «Петя». Нужно установить, верный это ответ или нет.

Возможна и другая форма проверочной работы: детям дается лист бумаги, на котором помещены условия ряда задач. При этом к каждой задаче дан ответ: в одних случаях верный, в других – неверный. И детям также сообщается, что какой-то мальчик решил все задачи, и предлагается его решения проверить: рядом с каждым ответом пометить, в каком случае ответ дан верный (знаком « +») и в каком случае – неверный (знаком « —»).

На материале задач вида «Ближе, левее» проверочное задание может быть таким, например: «Один мальчик решал задачу: «Юра, Аня и Гена написали по слову:

ЗИМА ЛЕТО ВЕСНА

Слово Гены было ближе к слову ВЕСНА, чем слово Ани. Кто написал слово ЛЕТО?» и сказал: «Слово ЛЕТО написал Юра». Верно ли решил задачу мальчик?»