Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Движение на прогулке 3

Движение видимых частей Вселенной – способ систематического получения информации о невидимых и неизвестных частях. Планета Нептун в Солнечной системе была предсказана, а затем открыта в середине XIX в. исходя из аномалий в движении известной планеты – Урана. В XXI в. планеты у других звезд открывают по наблюдаемому движению самой звезды, вызванному существованием планет; из этого движения иногда удается узнать даже о существовании планет, похожих на Землю.

Обращение звезд вокруг центра масс своих галактик во множестве случаев оказалось аномально быстрым для наблюдаемого в этих же галактиках количества вещества, притяжение которого должно обеспечивать движение звезд. Наблюдения такого рода привели к идее о существовании во Вселенной невидимого вещества (темной материи) в количестве, в несколько раз превышающем количество известной материи. Предположительные гало темной материи в несколько раз превосходят по размерам видимую часть галактик и образованы частицами, связанными между собой только гравитационно. Прямое обнаружение частиц, из которых состоит темная материя, или какой-либо другой способ разрешения загадки вращения звезд в галактиках – один из современных вызовов, стоящих перед наукой о Вселенной.

Планеты, карликовые планеты, астероиды и кометы, движущиеся вокруг Солнца, испытывают воздействие наиболее массивных участников этого движения. Из-за этого возникают регулярности в организации ряда орбит: они оказываются в резонансе друг с другом, т. е. периоды обращения по ним соотносятся как целые числа. Резонансы возникают и в орбитах ряда спутников больших планет; спутники, кроме того, могут периодически «обмениваться» орбитами. Резонансы в организации планетных систем обнаруживаются и у других звезд. Набор регулярностей (корреляций) в орбитах, по которым движутся некоторые транснептуновые тела в Солнечной системе, весьма вероятно, служит указанием на ранее никак не предполагавшееся существование Планеты 9, движущейся по неожиданно далекой от Солнца орбите.

Прогулка 4
Прочь от Кеплера: размер, форма и беспорядок

Маршрут: Ничто не идеально. – Размер имеет значение. – От прилива до разрыва. – Движение откликается на форму. – Спасение эллипсов поцелуями. – Борьба всех со всеми. – Драма для троих.

Главный герой: приливы

Ничто не идеально. Окружности, сферы и шары – идеальные формы идеальных, как когда-то считалось, небес; Кеплер заменил окружности эллипсами, а Ньютон подтвердил вычислениями, что Кеплер угадал все правильно. Но и для Ньютона сферы и шары оказались важными. До сих пор, не всегда произнося это вслух, мы предполагали, что все небесные тела идеально круглые: имеют форму шара или же находятся настолько далеко друг от друга, что их можно считать точками. Именно тогда для одинокой планеты в качестве траекторий движения получаются математически строгие эллипсы (а сама постановка вопроса, как мы уже отмечали, называется задачей Кеплера). В действительности же движение под действием притяжения больших и неровных тел, как и движение крупных тел под действием притяжения любых других, – уже не вечная и идеальная «музыка эллипсов», а меняющийся мир довольно жестких реалий. Земля не идеальный шар, и, хотя на больших расстояниях от нее на это можно не обращать большого внимания, нарушения сферичности заметно проявляют себя в самом ближнем космосе – как раз там, где через два с лишним века после смерти Ньютона в избытке появились разнообразные летающие объекты. Реальная орбита искусственного спутника Земли имеет вид вроде показанного на рис. 4.1. Приходится признать, что это не сильно похоже на эллипс. Форма имеет значение – и в данном случае форма Земли разрушает кеплеровы эллипсы. Но это еще не все. Размер тоже имеет значение – но не для той стороны, которая действует, а для той, которая подвергается действию притяжения. Этот факт имеет два хорошо известных проявления, заметных невооруженным взглядом на берегу океана и при прогулках по Луне.

С размера и начнем.

Рис. 4.1. Типичная орбита спутника (для наглядности расстояния между соседними витками сильно преувеличены). И где здесь Кеплер?

*****

Размер имеет значение. В лунном небе Земля не восходит и не заходит – висит над путником, гуляющим по Луне, постоянно в одном и том же месте. В качестве компенсации, правда, смотреть на нее не скучно, потому что она вращается вокруг своей оси. Если вы находитесь на Луне, Земля для вас делает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа 50 минут, так что вы можете разглядеть ее всю, если вам хватит терпения, тепла и кислорода (и не забудьте запастись всем этим на «лишние» 50 минут). Для вашего удобства она «застыла» неподвижно в одной точке неба. К такому положению вещей вообще-то все давно привыкли – но только наблюдая его с противоположного конца: в земном небе Луна видна всегда повернутой одной стороной^[56]. Эта кажущаяся неподвижность – «застывшая» Земля и «не поворачивающаяся» Луна – есть результат движения в «гравитационных объятиях». Сила таких объятий занятным образом зависит от (массы обнимающего и) размера обнимаемого. И объятия взаимны; на Земле они проявляют себя в виде приливов.

Взаимность начинается с взаимности обращения: Земля и Луна, как мы говорили в главе «прогулка 2», движутся вокруг общего центра масс; центр Земли при этом описывает окружность (эллипс, очень близкий к окружности) радиусом около 4600 км. (Полный оборот занимает примерно лунный месяц; это движение никак не связано с вращением Земли вокруг своей оси, про которое временно можно даже забыть.) Но для движения по окружности требуется постоянно тянуть то, что движется, к центру – иначе улетит прочь. Землю и все, что на ней, в данном случае тянет, конечно, Луна. Притяжение Луны сообщает ускорение каждому камню, каждой песчинке и каждой капле воды – всему, что есть на Земле, причем точно такое же ускорение, как если бы камень, песчинка и капля падали на Луну. Падения в буквальном смысле не происходит именно из-за взаимного обращения Луны и Земли; с учетом притяжения самой Земли как раз и получается движение вокруг общего центра масс, но нам сейчас важны подробности того, как действует именно притяжение Луны. Если бы Земля была размером с автомобиль или даже астероид, дальше рассказывать было бы нечего, потому что предмет такого размера притягивается Луной как единое целое. Однако Земля довольно большая и из-за этого притягивается к Луне уже не совсем как единое целое: становится заметным, что разные части Земли находятся на различном удалении от Луны. Ньютонов закон тяготения (1.1) – правило «обратных квадратов» – сообщает нам, что камень, лежащий на ближней к Луне стороне Земли, притягивается с силой примерно на 3,4 % большей, чем притягивается «камень» той же массы в центре Земли, а на дальней от Луны стороне Земли такой же камень притягивается к Луне с силой почти настолько же (на 3,2 %) меньшей, чем в центре.

Эти проценты берутся от силы, которая и сама по себе не слишком велика: в среднем лунное притяжение, ощущаемое на поверхности Земли, примерно в 300 000 раз слабее земного: во столько же раз ускорение в направлении Луны меньше земного ускорения свободного падения g – того самого, которое делает нежелательными прыжки даже со второго этажа, да и подпрыгнуть вверх сколько-нибудь серьезно не позволяет. В действительности влияние Луны на зрелищность прыжков даже еще слабее: когда вы находитесь на Земле и видите Луну у себя над головой, ее вклад в ваш отрыв от поверхности при подпрыгивании определяется разницей в ускорениях, которые Луна сообщает лично вам и центру Земли (Луна норовит оттащить вас подальше от центра Земли). Аналогичная картина имеет место и в том случае, когда вы тренируетесь на противоположной от Луны стороне Земли: там ваше личное ускорение в направлении Луны меньше, чем ускорение центра Земли в том же направлении, и вам тоже немного легче подпрыгивать (центр Земли норовит «уйти к Луне» из-под ваших ног). Ни в том ни в другом случае, однако, у вас нет шансов это почувствовать: чтобы найти разницу между ускорениями, надо взять те самые три с небольшим процента от одной трехсоттысячной, что дает эффект «облегчения» на одну десятимиллионную долю (а одна десятимиллионная от веса человека – это сотая доля грамма; пылинка на одежде может весить больше). Мы не становимся сколько-нибудь заметно легче ни в лунные, ни в полностью безлунные ночи.

Рис. 4.2. Направления на Луну различаются в различных точках на поверхности Земли

Но это не конец истории: Земля достаточно большая еще и для того, чтобы направления на Луну не совпадали в различных точках земной поверхности. До сих пор мы пытались подпрыгивать в подлунной точке и в противоположной ей, «антилунной» точке; силы притяжения к Луне там различаются по величине, но не по направлению. Однако и направления, под которыми Луна видна из различных точек земной поверхности, различаются – сильнее всего для точек на «ободе», проходящем посередине между подлунной и антилунной точками. На рис. 4.2 показаны две такие точки; направление на Луну в каждой из них – не строго «вбок», по касательной к поверхности; оно имеет и небольшую (чуть более полутора процентов) составляющую, направленную внутрь Земли, вдоль радиуса. Из-за этого разбросанные там камни дополнительно прижаты к поверхности Земли – на величину даже меньшую одной десятимиллионной номинальной силы земного притяжения.

В разных частях Земли притяжение Луны различно и по величине, и по направлению

Итак, кроме того, что с подлунной и антилунной сторон имеется эффект «облегчения», посередине между ними возникает эффект «прижимания» к поверхности. Оба – ничтожные, но погодите буквально минуту. Самое главное происходит в переходных областях, где дополнительное «лунное» ускорение, которое получают тела на земной поверхности относительно центра Земли, меняет свое направление с «к центру» на «от центра» (рис. 4.3). На значительном участке земной поверхности камни, песчинки и капли воды испытывают ускорение почти вдоль поверхности – появляется нечто вроде эффекта «поглаживания». Оно очень слабое и не имеет никакого значения ни для отдельного камня, ни для песчинки, ни для капли воды. Но малые эффекты могут складываться в нечто значимое, если воды много: передача давления от одних областей к другим создает эффект «насоса», накачивающего воду в сторону подлунной и антилунной областей, забирая ее из «срединных» областей. Вода – не в озерах или даже морях, которые слишком малы для этого, а в Мировом океане – испытывает силу, толкающую ее вдоль поверхности, по стрелкам на рис. 4.3. Получается почти буквально насос: на двух противоположных сторонах Земли вода нагнетается в горб (прилив), а между ними возникает впадина (отлив).

Рис. 4.3. Как направлены силы, которые возникают на земной поверхности из-за неоднородности притяжения к Луне

Один горб обращен к Луне, а другой – в противоположном от Луны направлении. Теперь, наконец, самое время вспомнить, что Земля вращается вокруг своей оси, поворачиваясь к Луне разными сторонами по очереди. Стрелки на рис. 4.3 сохраняют свою ориентацию относительно направления на Луну, но нарисованная под ними окружность вращается, просто потому что Земля вращается вокруг своей оси. Она делает полный оборот за 23 часа 56 минут (и 4 секунды), но это – относительно звезд; Луна же не стоит на месте относительно Земли, делая полный оборот за 27,3 суток, из-за чего Земля поворачивается к Луне в точности одним и тем же образом в среднем каждые 24 часа 50 минут и 28 секунд (Луна и в самом деле восходит каждый день примерно на 50 минут позже, чем накануне). Эти 24 часа и 50 (с половиной) минут составляют период вращения Земли вокруг своей оси для жителей базы на Луне, и за это же время на земной поверхности два приливных горба совершают путешествие вокруг Земли (или, если вам так больше нравится, Земля полностью проворачивается под деформированной поверхностью океана). Примерно два прилива и два отлива в сутки (рис. 4.4)^[57].

Рис. 4.4. Сент-Майклс-Маунт (гора Св. Михаила) в Корнуолле (Англия), куда во время отлива можно пройти пешком по ведущей по дну каменной дорожке. Монастырь на острове основан бенедиктинцами в XII в.

Луна обнимает Землю океанскими приливами, и эти объятия тормозят вращение Земли вокруг своей оси^[58]. За последние примерно 100 лет точных астрономических наблюдений сутки увеличились примерно на одну семисотую долю секунды. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока приливные горбы не перестанут путешествовать, огибая Землю, а для этого продолжительность суток должна вырасти до периода обращения Луны вокруг Земли. Луна тогда будет видна постоянно над одной и той же точкой земной поверхности. Такой «захват» Земли лунным притяжением, впрочем, имеет шанс наступить настолько нескоро, что еще до того на Земле исчезнут океаны из-за возросшей энергии солнечного излучения, а то и погибнет Солнечная система. Но аналогичный захват Луны земным притяжением уже произошел! Все причины возникновения приливов, которые действуют применительно к Земле, действуют и в отношении Луны, только там они сильнее из-за того, что источник этих эффектов – Земля – намного массивнее. Замедление вращения Луны вокруг ее оси происходило до тех пор, пока Луна не перестала поворачиваться «под» двумя приливными горбами, т. е. пока ее вращение вокруг своей оси не синхронизировалось с обращением вокруг Земли. Для этого хватило того времени, пока на Луне имелась жидкая, расплавленная фаза. С тех пор «лунные сутки» и установились равными времени ее обращения вокруг Земли. Луна, другими словами, полностью захвачена гравитационным объятием Земли. Поэтому для того чтобы наблюдать восход Земли – появление ее из-за лунного горизонта, как это делали Борман, Андерс и Ловелл (см. рис. 2.2), требуется лететь вокруг Луны; «сама по себе» Земля над Луной не восходит и не заходит.

Рис. 4.5. Коллаж из фотографий Харона и Плутона, сделанных аппаратом NASA «Новые горизонты» 14 июля 2015 г.

Примеры гравитационного захвата наблюдаются в разных местах Солнечной системы. (Карликовая) планета Плутон и ее спутник Харон (рис. 4.5) – не совсем обычный пример планеты и спутника: их радиусы различаются всего в два раза, что несколько приближает эту пару к двойной планете^[59]. Это позволило обоим телам гравитационно захватить друг друга. Сутки на каждом сравнялись с периодом обращения (6,387 земных суток – где-то между сутками на Земле и на Луне), и каждое всегда повернуто к другому одной стороной. Полное отсутствие сюжета в 5,9 млрд километров от Солнца; вся пьеса уже сыграна, а мы определенно опоздали на представление.

Юпитер превосходит свой спутник Ио (который сам несколько больше Луны) в 38 раз по размеру (и в двадцать с лишним тысяч раз по массе) и тоже держит его «лицом к себе». Другой спутник Юпитера, Европа (слегка меньше Луны – процентов на десять по размеру и в полтора раза по массе), судя по ряду признаков, имеет под ледовой корой жидкий океан, причем наличие жидкой фазы в отсутствие солнечного тепла объясняется приливным трением в условиях сильного притяжения Юпитера. Время от времени обсуждается идея поискать в этом океане жизнь. Имеется жидкая вода, кое-какие химические элементы и источник тепла – надо ли что-то еще? Возможно, через некоторое время мы узнаем – планы отправить к Европе исследовательский зонд постепенно принимают все более четкие очертания.

*****

От прилива до разрыва. Земля убедительно распорядилась Луной, синхронизовав два вида ее движения. Но возможны и более радикальные решения, примеры которых мы видим у больших (гравитационно сильных) планет в Солнечной системе: они окружены не только спутниками, но и кольцами. Мы тоже могли бы наслаждаться видом колец вместо Луны, если бы она оказалась слишком близко к Земле. Телу относительно большого размера нельзя подходить к другому массивному телу ближе, чем на некоторое критическое расстояние. Да, гравитация только притягивает; но она же, несколько парадоксальным образом, может и разрывать – из-за того что одни части тела (для повышения драматизма будем говорить о Луне) притягиваются сильнее, чем другие. Ближняя к Земле часть Луны испытывает более сильное притяжение к Земле, чем центр Луны, а дальняя часть – более слабое. Спрашивается, почему они не отрываются от центра? Конечно, потому, что Луна держит себя вместе своей собственной гравитацией. Так и происходит с Луной там, где она сейчас находится. Но по мере (воображаемого) приближения к Земле возрастает не только общая сила притяжения к Земле – возрастает еще и разница между притяжением ближних и дальних частей достаточно протяженного тела. На некотором расстоянии от Земли эта разница превосходит собственную гравитацию Луны, что и означает конец Луны как чего-то целого и круглого, превращение ее в обломки, которые летают по отдельности, образуя кольца, если смотреть на все это с должного удаления. Критическое расстояние опасного приближения называется пределом – или радиусом – Роша. Его численное значение можно определить, развив только что высказанные соображения (и вовсю пользуясь законом тяготения Ньютона). Естественный спутник Земли, имеющий размер Луны, если он, как и настоящая Луна, твердый, не может приблизиться к Земле ближе чем на примерно 9500 км и остаться единым целым. Это расстояние и есть предел Роша для системы Земля – Луна. Отсюда видно, что Луне ничего не грозит, потому что летает она на расстоянии в сорок раз большем. Предел Роша для жидкой Луны (а она ведь когда-то была такой) примерно в два раза больше, чем для твердой, но все равно текущая орбита Луны проходит на расстоянии, примерно равном 21 «жидкому» пределу Роша. Луна в полной безопасности!

Гравитация может разорвать на части

Жидкое тело поддается разрыву на большем удалении от центра притяжения, чем твердое: «жидкий» предел Роша больше «твердого» по причине, которую можно выразить фразой «Чем быстрее начинаешь поддаваться, тем скорее проигрываешь». Жидкое тело деформируется, вытягиваясь вдоль направления на притягивающую массу (в точности так, как вода в земных океанах). Но чем больше вытянут спутник в направлении притягивающей планеты, тем заметнее различие между силами притяжения самой близкой и самой далекой его частей. Другими словами, начавшееся удлинение только способствует увеличению разрывающего усилия! Все те тела, которые мы наблюдаем в Солнечной системе в виде тел, а не колец, так или иначе предотвратили свой разрыв, но следы происходивших битв заметны в приливных выступах, которые имеют некоторые спутники, например Харон (см. рис. 4.5): они испытывали приливную деформацию, пока были жидкими, все-таки избежали разрыва благодаря достаточной дистанции от планеты, но сохранили деформацию – приливные горбы, после того как застыли.

В Солнечной системе есть и пары, приближающиеся к рискованному радиусу. Спутники Сатурна, носящие имена Пан, Атлас, Прометей, Пандора, Эпиметей и Янус (два последних мы уже встречали на прогулке 3, когда они без устали менялись орбитами), имеют орбиты, лежащие внутри «жидкого» предела Роша. Даже в сравнении с «твердым» пределом Роша они находятся не слишком далеко от планеты: от менее полутора для Пана до примерно двух пределов Роша для Эпиметея и Януса. Наяда – спутник Нептуна – выделяется орбитой, проходящей в среднем на расстоянии всего 1,39 «твердого» предела Роша (и заведомо внутри «жидкого»). А вот кольца Сатурна (рис. 4.6), традиционно обозначаемые буквами D, C, B, A, F, G и E,^[60] находятся внутри или (G и E) очень близко снаружи предела Роша для жидких тел, а D и C – даже внутри предела Роша для твердых тел. Если кольца Сатурна не есть результат разрыва когда-то существовавших тел, то это, во всяком случае, ясное свидетельство того, что пребывание ниже предела Роша или вблизи него не позволяет – и никогда не позволит – отдельным кускам собраться вместе под действием своей собственной гравитации, как когда-то собрались имеющиеся планеты и их спутники.

Рис. 4.6. Фотография Сатурна, сделанная аппаратом «Кассини»

Иногда мне кажется, что астрономы (да и астрофизики) излишне самоуверенны – смело рассуждают не только о вещах далеких и, в общем, не слишком хорошо видных (иначе зачем столько современных ухищрений?), но и о причинах того, что с этими вещами происходит. Но в такие моменты я спрашиваю себя: а как же не стать самоуверенным, если вычисления на бумаге способны предсказать правила игры для самых далеких космических объектов? Предел Роша был вычислен теоретически (в 1848 г.!) исходя из закона тяготения и ряда предположений, но это не «бумажная декларация». Он работает. В июле 1992 г. комета Шумейкеров – Леви 9 пересекла предел Роша, неосмотрительно приблизившись к Юпитеру, и в самом деле была расчленена на несколько фрагментов. Через два года эти фрагменты снова приблизились к Юпитеру, но на этот раз упали на него, что было первым наблюдаемым столкновением (естественных) тел в Солнечной системе. Скорость попадания была высока – близка ко второй космической скорости для Юпитера (59,5 км/с), что сделало событие не только крайне интересным для изучения Юпитера, но и ярким. К сожалению, фрагменты врезались в Юпитер на той его стороне, которая в этот момент не была видна с Земли, и наблюдать моменты удара мог только космический аппарат «Галилео» (который как раз направлялся к Юпитеру, но все еще находился от него на расстоянии большем, чем полтора расстояния от Земли до Солнца). Впрочем, Юпитер быстро поворачивается вокруг своей оси (примерно за 10 земных часов), и места попадания стали доступны наблюдению со стороны Земли буквально через несколько минут^[61]. Этот случай привлек внимание к возможной роли Юпитера в поддержании жизни на Земле: гравитационно мощная планета-гигант защищает Землю от астероидов и комет, приходящих из более дальних областей Солнечной системы, перенаправляя их или забирая себе, а затем поглощая (комета Шумейкеров – Леви 9, вероятно, попала в объятия Юпитера и сделалась его спутником за 20–30 лет до своей кончины). Спокойствие на Земле (пусть даже относительное спокойствие, если вспомнить про столкновение, по всей видимости приведшее к вымиранию динозавров) требует наличия довольно мощного «вышибалы», курсирующего на подходящем расстоянии.

На одну комету меньше из-за тесного сближения

В январе 2019 г. космический телескоп TESS (см. рис. 3.8) зафиксировал последствия нарушения предела Роша на расстоянии 375 млн световых лет от нас. Там черная дыра с массой, равной 6 млн масс Солнца, расправилась со звездой предположительно сравнимого с Солнцем размера. Процесс превращения звезды в подобие кольца – яркий диск, вращающийся вокруг черной дыры, – наблюдался в течение 41 суток (этот временной отрезок и характер свечения в первую очередь послужили указанием на то, что причина выделения энергии – не сверхновая)^[62].

*****

Движение откликается на форму. Движение естественных и искусственных спутников, залетевших в гости комет и астероидов, да и чего угодно вблизи планеты (скажем, Земли) определяется тем, как именно эта планета притягивает. Но закон тяготения Ньютона ничего не говорит о том, как притягивает конкретная планета. Собственно, закон тяготения сообщает, как притягивают друг друга две точки, волшебным образом содержащие в себе массы M₁ и M₂ и разделенные расстоянием R. Таких точек в природе существовать не может: любое количество вещества всегда занимает какой-то объем, а в геометрическую точку нельзя запихнуть никакую массу. По некотором размышлении начинаешь удивляться, что закон тяготения вообще работает, несмотря на настолько нефизическое допущение в его формулировке. В действительности ньютоновский закон тяготения для таких «волшебных точек» работает вместе с предписанием о суммировании. Требуется представить планету, со всеми ее внутренностями, как собрание несметного числа малых кусков – настолько малых, чтобы каждый несильно отличался от точки. Каждый из них находится на своем расстоянии от (например) искусственного спутника, которым мы интересуемся. Притяжения от всех кусков, с учетом массы каждого и расстояния от него до спутника, надо затем сложить. Если все куски достаточно малы, получится неплохое приближение к точному ответу на вопрос о силе притяжения со стороны всей планеты в целом. Если требуется действовать точнее, надо разбивать планету на еще большее число кусков. Точность растет по мере уменьшения размеров всех кусков и одновременного увеличения их количества в разбиении. Такое разбиение и суммирование выполняются практически буквально, когда мы решаем задачу на компьютере; правда, ответ в этом случае получается все равно до некоторой степени приближенным (его точность может нас устраивать, но в принципе ее всегда можно улучшить). Ньютон изобрел математическую процедуру, в рамках которой «уже выполнено» разбиение на такие куски, которые меньше любых, какие можно себе вообразить, а получающийся ответ – точный. Эта процедура – интегрирование, уже встречавшееся нам в главе «прогулка 1». Математические правила игры при этом полностью определены, и единственная (зато большая) проблема состоит в том, что совсем не часто результат можно записать «в обозримом виде» – конечной формулой, непосредственно выражающей ответ.

Закон тяготения прост только для воображаемых точек

Однородная сфера притягивает точно к своему центру

Автор закона всемирного тяготения математически выяснил, что шар, равномерно заполненный веществом, притягивает максимально простым образом: так, как если бы вся его масса была сосредоточена строго в центре. Достаточно даже, чтобы по каждому сферическому слою вещество было распределено равномерно. Для Земли это означало бы, что она не просто имеет форму шара, но и на любой выбранной глубине (скажем, 8,2 км или 3587 км – любой) кубический сантиметр объема содержит одну и ту же массу и под Чукоткой, и под Кубой, и под Северным полюсом – везде. Тогда Земля и притягивала бы в точности как одна «волшебная точка», в которой непостижимым образом уместилась вся масса планеты; такова математика. Но даже беглый взгляд на раскраску глобуса показывает, что Земля неоднородна: для начала на ней есть океан и не-океан. По крайней мере поверхностный слой толщиной в несколько десятков километров неоднороден. Да Земля и не имеет формы шара! Не могу удержаться, чтобы не процитировать Азимова:

Земля – не сферическая

Когда люди думали, что Земля плоская, они ошибались. Когда люди думали, что Земля – шар, они ошибались. Но если вы считаете, что считать Землю шаром ошибочно в той же мере, в какой ошибочно считать ее плоской, то вы совершаете большую ошибку, чем те две ошибки, вместе взятые.

Рис. 4.7. Относительные отклонения земной поверхности от сферы преувеличены здесь в 10 000 раз. Выпуклости и вдавленности дополнительно показаны цветом. На черно-белом изображении оттенки красного (выпуклости) неотличимы от оттенков синего (вдавленности); см. цветное изображение: https://en.wikipedia.org/wiki/Figure_of_the_Earth#/media/File: Geoid_undulation_10k_scale.jpg

Отклонения Земли от сферичности и имеющиеся внутри нее неоднородности сказываются на ее притяжении: оно не такое же, как если бы вся масса Земли находилась точно в центре. Различия небольшие, но они радикально меняют движение искусственных спутников. Задача о движении спутников в реальности не является задачей Кеплера. Ни одну орбиту нельзя рассчитать на хотя бы десяток витков вперед, заменяя Землю точкой в ее центре, где сосредоточена вся масса Земли.

Орбиты спутников чувствительны к форме Земли

А как надо действовать?

Если бы Земля имела пресловутую форму чемодана или, скажем, подчеркнуто грушевидной груши, то для описания движения малых тел под действием ее притяжения не было бы никаких средств, кроме таблиц, составляемых компьютерами, и визуализации этих таблиц в виде рисунков. Совершенная простота закона тяготения для «волшебных точек» дает сложные результаты, когда эти точки не распределены равномерно по сферическим слоям. Влияние же реальной формы Земли удается учитывать, делая последовательные приближения. Это означает, что отклонения от сферичности принимаются во внимание по очереди в зависимости от того, сколь масштабный эффект они вызывают: от «скособоченности» в целом к более мелким «выступам» и «впадинам». Это оказывается возможным потому, что Земля все-таки больше похожа на шар, чем на чемодан; она, более того, ближе по форме к мячу для футбола, чем к мячу для регби. Форма Земли с сильно преувеличенными отклонениями от сферичности показана на рис. 4.7.

Форма и неоднородности Земли – не фундаментальный факт природы, а случайность, особенности конкретной планеты, и для их описания надо придумать, как соединить конкретные данные с фундаментальными принципами. Отправная точка последовательных приближений – идеализированное предположение, приводящее к кеплеровой картине движения; здесь все понятно, и предмет нашего интереса – дальнейшие уточнения, но для единообразия явно сформулируем это предположение.

• Идеально круглая и однородная Земля: зависимость притяжения от расстояния 1/R², зависимости от направления нет.

А теперь учтем самый главный эффект, отличающий Землю от идеального шара: сплюснутость у полюсов, или, что то же, выпуклость («вздутие») вблизи экватора. От центра Земли до полюса на 21 км ближе, чем от центра до экватора. Это около 0,335 % радиуса Земли, что, в общем, совсем мало для практически всего, кроме спутников. Наладить производство реалистичных глобусов, передающих такие детали формы Земли, довольно проблематично: если радиус глобуса равен метру (что не так мало для интерьера – два метра в диаметре), то полюс надо дополнительно приблизить к центру на три с небольшим миллиметра, и это едва ли многие заметят. Но в этом же масштабе высота орбиты, скажем, МКС (практически равная расстоянию между Москвой и Нижним Новгородом) – около 6 см над поверхностью глобуса. Это близко, и если «один бок» Земли притягивает несколько сильнее, чем другой, то орбита живо на это откликается; «три миллиметра» (21 км) оказываются очень существенными для низких околоземных орбит. Чтобы описать, как эти 21 км проявляют себя, мы заменяем реальную Землю специальной математической фигурой, учитывающей только реальные значения полярного и экваториального радиусов. Она (эта фигура) называется эллипсоидом вращения, но главное не название, а то, что она передает одно знание о форме Земли: разницу между полярным и экваториальным радиусами. На полюсах и на экваторе мы совмещаем эту воображаемую поверхность и реальную поверхность Земли как можно более точно, а в остальном – что получится, то получится: поверхность воображаемого эллипсоида проходит где-то чуть выше, а где-то чуть ниже реальной земной поверхности; о точном совпадении мы прямо сейчас не заботимся. Эллипсоид же прекрасен именно тем, что это строго определенная математическая фигура, для которой можно (хоть и не без некоторых усилий) выполнить требуемую процедуру суммирования притяжений от «волшебных точек». Делая это, надо вспомнить, что мы уже учли притяжение идеально круглой Земли и поэтому сейчас интересуемся только тем, что еще надо добавить к силе притяжения.